n. [数] 线性规划
The model is linear programming model.
模型是线性规划模型。
An active set method for linear programming is given.
给出了一个解线性规划的有效集方法。
Many tools are available to solve linear programming problems.
有很多工具都可以用来解决线性编程的问题。
Linear programming is a tool for solving optimization problems.
线性编程是一个用来解决优化问题的工具。
Semidefinite programming is an extension of linear programming.
半定规划是线性规划的一种推广。
n.|linear optimization;[数]线性规划
线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹学中一种重要的数学优化方法，用于在一组线性约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值问题。其核心在于通过数学模型描述资源分配、生产计划等现实问题，并找到最优决策方案。以下是详细解释：
目标函数
需最大化或最小化的线性表达式，例如企业利润最大化 $text{Maximize } Z = c_1x_1 + c_2x_2$ 或生产成本最小化 $text{Minimize } C = a_1y_1 + a_2y_2$。其中 $c_i, a_i$ 为系数，$x_i, y_i$ 为决策变量。
约束条件
决策变量需满足的线性不等式或等式，代表资源限制、技术条件等。例如：
$$ begin{cases} a_{11}x1 + a{12}x_2 leq b1 a{21}x1 + a{22}x_2 geq b_2 x_1, x_2 geq 0quad text{(非负约束)} end{cases} $$
可行域与最优解
所有满足约束条件的解构成“可行域”（凸多边形或多面体），最优解通常出现在可行域的顶点处。
企业分配原材料、人力等资源以实现利润最大化（来源：经典运筹学教材）。
最小化物流成本，如从多个仓库向不同地点配送货物（来源：管理科学期刊）。
在风险约束下最大化收益，或给定收益下最小化风险（来源：金融工程研究）。
电力系统中优化发电机组出力以降低运营成本（来源：IEEE能源领域论文）。
以简单问题为例：
目标：$text{Maximize } Z = 3x + 5y$
约束：
$$ begin{align} x + 2y &leq 10
2x + y &leq 12
x, y &geq 0 end{align} $$
通过作图或单纯形法可得最优解 $(x, y) = (4, 3)$，此时 $Z = 27$。
线性规划通过数学建模将复杂决策问题转化为可计算形式，为工业、经济等领域提供科学决策依据。其理论严谨性与实际应用广泛性使其成为现代优化技术的基石。
Linear Programming（线性规划） 是数学优化领域的一种方法，主要用于在线性约束条件下，寻找线性目标函数的最大值或最小值。以下是详细解释：
目标函数
需要最大化或最小化的线性表达式，例如：
$$text{Maximize } Z = c_1x_1 + c_2x_2 + dots + c_nx_n$$
其中 (c_i) 是系数，(x_i) 是决策变量。
约束条件
决策变量需满足的线性不等式或等式，例如：
$$a_{11}x1 + a{12}x2 + dots + a{1n}x_n leq b1$$
$$a{m1}x1 + a{m2}x2 + dots + a{mn}x_n = b_m$$
可行域
所有满足约束条件的解构成的区域，通常是一个凸多面体。
线性规划的标准形式为：
$$
begin{aligned}
text{Maximize } & mathbf{c}^Tmathbf{x}
text{subject to } & Amathbf{x} leq mathbf{b},
& mathbf{x} geq mathbf{0}
end{aligned}
$$
其中 (mathbf{x}) 是决策变量向量，(A) 是约束矩阵，(mathbf{b}) 是资源限制向量。
如需进一步学习，可参考运筹学教材或数学优化工具（如 MATLAB、Python 的 SciPy 库）。
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