n. [數] 線性規劃
The model is linear programming model.
模型是線性規劃模型。
An active set method for linear programming is given.
給出了一個解線性規劃的有效集方法。
Many tools are available to solve linear programming problems.
有很多工具都可以用來解決線性編程的問題。
Linear programming is a tool for solving optimization problems.
線性編程是一個用來解決優化問題的工具。
Semidefinite programming is an extension of linear programming.
半定規劃是線性規劃的一種推廣。
n.|linear optimization;[數]線性規劃
線性規劃（Linear Programming，簡稱LP）是運籌學中一種重要的數學優化方法，用于在一組線性約束條件下，求解線性目标函數的最大值或最小值問題。其核心在于通過數學模型描述資源分配、生産計劃等現實問題，并找到最優決策方案。以下是詳細解釋：
目标函數
需最大化或最小化的線性表達式，例如企業利潤最大化 $text{Maximize } Z = c_1x_1 + c_2x_2$ 或生産成本最小化 $text{Minimize } C = a_1y_1 + a_2y_2$。其中 $c_i, a_i$ 為系數，$x_i, y_i$ 為決策變量。
約束條件
決策變量需滿足的線性不等式或等式，代表資源限制、技術條件等。例如：
$$ begin{cases} a_{11}x1 + a{12}x_2 leq b1 a{21}x1 + a{22}x_2 geq b_2 x_1, x_2 geq 0quad text{(非負約束)} end{cases} $$
可行域與最優解
所有滿足約束條件的解構成“可行域”（凸多邊形或多面體），最優解通常出現在可行域的頂點處。
企業分配原材料、人力等資源以實現利潤最大化（來源：經典運籌學教材）。
最小化物流成本，如從多個倉庫向不同地點配送貨物（來源：管理科學期刊）。
在風險約束下最大化收益，或給定收益下最小化風險（來源：金融工程研究）。
電力系統中優化發電機組出力以降低運營成本（來源：IEEE能源領域論文）。
以簡單問題為例：
目标：$text{Maximize } Z = 3x + 5y$
約束：
$$ begin{align} x + 2y &leq 10
2x + y &leq 12
x, y &geq 0 end{align} $$
通過作圖或單純形法可得最優解 $(x, y) = (4, 3)$，此時 $Z = 27$。
線性規劃通過數學建模将複雜決策問題轉化為可計算形式，為工業、經濟等領域提供科學決策依據。其理論嚴謹性與實際應用廣泛性使其成為現代優化技術的基石。
Linear Programming（線性規劃） 是數學優化領域的一種方法，主要用于線上性約束條件下，尋找線性目标函數的最大值或最小值。以下是詳細解釋：
目标函數
需要最大化或最小化的線性表達式，例如：
$$text{Maximize } Z = c_1x_1 + c_2x_2 + dots + c_nx_n$$
其中 (c_i) 是系數，(x_i) 是決策變量。
約束條件
決策變量需滿足的線性不等式或等式，例如：
$$a_{11}x1 + a{12}x2 + dots + a{1n}x_n leq b1$$
$$a{m1}x1 + a{m2}x2 + dots + a{mn}x_n = b_m$$
可行域
所有滿足約束條件的解構成的區域，通常是一個凸多面體。
線性規劃的标準形式為：
$$
begin{aligned}
text{Maximize } & mathbf{c}^Tmathbf{x}
text{subject to } & Amathbf{x} leq mathbf{b},
& mathbf{x} geq mathbf{0}
end{aligned}
$$
其中 (mathbf{x}) 是決策變量向量，(A) 是約束矩陣，(mathbf{b}) 是資源限制向量。
如需進一步學習，可參考運籌學教材或數學優化工具（如 MATLAB、Python 的 SciPy 庫）。
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