infinitesimality是什么意思，infinitesimality的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

专业解析

infinitesimality（无穷小性）是一个数学概念，特指某个量或变量具有无限接近于零，但不等于零的性质。它描述了在极限过程中，一个量可以变得任意小（小于任何给定的正实数）的状态。

详细解释：

1. 核心含义：

   • 它源于形容词“infinitesimal”（无穷小的）。一个量如果被称为“infinitesimal”，意味着它的绝对值可以小于任何你事先指定的、无论多么小的正数（例如 0.1, 0.01, 0.001, ...）。
   • “infinitesimality” 就是这个量所具备的这种“可以无限趋近于零”的特性或状态。它强调的是该量在特定背景（通常是极限过程或无穷小分析）下所扮演的角色和性质。

2. 在微积分中的角色：

   • 在标准微积分（基于极限理论）中，无穷小量是理解导数（变化率）和积分（累积）的基础概念之一。例如：
     • 导数 $dy/dx$ 被定义为当自变量增量 $Delta x$趋近于零（即 $Delta x$ 的无穷小性）时，函数增量 $Delta y$ 与 $Delta x$ 比值的极限。
     • 定积分被定义为无穷多个无穷小面积（$f(x) dx$，其中 $dx$ 具有无穷小性）的总和。
   • 虽然标准分析最终通过极限 $lim_{Delta x to 0}$ 来严格处理，避免了直接操作“等于零”的尴尬，但“无穷小性”描述了 $Delta x$ 在趋近过程中所展现的关键特征。

3. 在非标准分析中的形式化：

   • 在亚伯拉罕·鲁宾逊发展的非标准分析中，“infinitesimality” 得到了更直接和严格的数学处理。
   • 非标准分析引入了包含无穷小数和无穷大数的超实数系。在这个框架下：
     • 一个无穷小量（infinitesimal）被明确定义为一个超实数 $x$，其绝对值小于所有正实数（即对所有正实数 $r$，有 $|x| < r$）。
     • 因此，“infinitesimality” 就是这些特定的超实数所固有的数学性质。导数、积分等概念可以用这些实际的无穷小数进行直观而严格的定义。

4. 应用与意义：

   • “infinitesimality” 的概念不仅在纯数学（分析学、微分几何）中至关重要，也在物理学（如连续介质力学、电磁学）、工程学（如控制理论、计算流体动力学）等领域有广泛应用。它使得我们能够用连续模型精确描述和计算涉及连续变化和积累的现象。

参考来源：

• MathWorld (Wolfram Research): 提供了对“Infinitesimal”的详细数学定义及其在历史和不同数学分支中的背景解释。 (来源：mathworld.wolfram.com/Infinitesimal.html)
• Encyclopedia of Mathematics (Springer): 由专业数学家维护的在线百科全书，包含“Infinitesimal”和“Infinitesimal calculus”的严谨条目，阐述了其在标准分析和非标准分析中的含义。 (来源：encyclopediaofmath.org/wiki/Infinitesimal)
• 国际标准 ISO 80000-2:2009: 数学符号与标准。虽然不直接定义术语，但该标准规范了包括微积分在内的数学符号使用，为“无穷小量”相关的概念（如微分 $dx$, $dy$）提供了国际公认的表示基础，间接关联到其性质。 (来源：ISO 80000-2:2009 Quantities and units — Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology)

网络扩展资料

以下是关于单词infinitesimality 的详细解释：

1.基本词义

Infinitesimality 是名词，表示“无穷小性”或“极小性”，用于描述某事物具有无限接近零或极微小的特性。其词根infinitesimal 作为形容词时意为“极小的；无限小的”，数学中特指“无穷小量”（趋近于零但不等于零的变量）。

2.数学定义

在数学（尤其是微积分）中，infinitesimal 指一个无限接近于零的量，常用于极限和微分运算。例如，当函数的变化量趋近于零时，可表示为： $$ dy = f'(x) , dx $$ 其中 (dx) 和 (dy) 是无穷小量。

Infinitesimality 则描述这种无穷小的性质，常见于数学分析中的“无穷小条件”（infinitesimality condition），用于研究函数的连续性或可微性。

3.应用场景

• 物理学：描述微观尺度下可忽略的量，如粒子的微小位移。
• 工程学：用于误差分析或近似计算。
• 日常语境：比喻概率极低或影响极小的事物。
  例句：
  The probability of encountering them again was infinitesimal. （重新遇到它们的概率微乎其微）。

4.与其他术语的关联

• 反义词：finite（有限的）、significant（显著的）。
• 相关概念：极限（limit）、微分（differential）、连续性（continuity）。

Infinitesimality 是数学和科学领域的关键概念，强调“无限趋近于零”的性质。其形容词形式infinitesimal 在学术与日常场景中均有广泛应用，既可描述具体数值的微小性，也可用于抽象比喻。如需进一步了解数学定义，可参考微积分教材或专业论文。

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