implicit function是什么意思，implicit function的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

专业解析

隐函数（Implicit Function） 是数学分析中的一个核心概念，指由方程而非显式表达式定义的函数关系。具体来说：

1. 定义方式：当一个方程的形式为 ( F(x, y) = 0 )（二元）或更一般地 ( F(x_1, x_2, dots, x_n, y) = 0 )（多元）时，如果存在函数关系 ( y = f(x_1, x_2, dots, x_n) ) 使得将该函数代入原方程后，方程在某个区域内恒成立，则称 ( y ) 是变量 ( x_1, x_2, dots, x_n ) 的隐函数。方程 ( F(x, y) = 0 ) 本身称为隐式方程。

2. 与显函数的区别：

   • 显函数（Explicit Function）：函数关系直接表示为因变量等于自变量的表达式，例如 ( y = x + sin(x) )，其中 ( y ) 被显式地解出并用 ( x ) 表示。
   • 隐函数（Implicit Function）：函数关系隐含在一个方程中，因变量没有（或难以）被显式解出。例如，圆的方程 ( x + y = r ) 定义了 ( y ) 关于 ( x )（或 ( x ) 关于 ( y )）的隐函数关系。虽然可以解出 ( y = pm sqrt{r - x} )，但方程本身并不直接给出这个表达式。

3. 存在性与唯一性（隐函数定理）：并非所有形如 ( F(x, y) = 0 ) 的方程都能在某个点附近唯一地确定一个隐函数 ( y = f(x) )。隐函数定理提供了保证隐函数存在、唯一且具有良好性质（如连续性、可微性）的充分条件。该定理要求：

   • 函数 ( F ) 在点 ( (x_0, y_0) )（满足 ( F(x_0, y_0) = 0 )）的某个邻域内连续可微（偏导数存在且连续）。
   • 在该点处，关于 ( y ) 的偏导数不为零，即 ( frac{partial F}{partial y} bigg|_{(x_0, y_0)} eq 0 )。 满足这些条件时，则在点 ( (x_0, y_0) ) 附近存在唯一的、连续可微的函数 ( y = f(x) )，使得 ( F(x, f(x)) = 0 )，且其导数可通过隐函数求导法求得。

4. 应用与意义：

   • 描述复杂关系：许多自然现象和几何曲线（如椭圆、双曲线）难以或无法用显函数表示，隐函数提供了一种自然的描述方式。
   • 隐函数求导：即使无法显式解出 ( y )，也能直接对方程 ( F(x, y) = 0 ) 两边关于 ( x ) 求导（利用链式法则），求出导数 ( frac{dy}{dx} ) 或偏导数。这是微积分中的关键技术。
   • 理论基础：是理解反函数、参数方程以及更一般流形理论的基础。

示例：

• 方程 ( x + y - 1 = 0 ) 在点 ( (0, 1) ) 附近（满足 ( frac{partial F}{partial y} = 2y eq 0 )）定义了隐函数 ( y = sqrt{1 - x} )（上半圆）。
• 热力学中的状态方程（如范德瓦尔斯方程）常以隐函数形式给出压力 ( P )、体积 ( V )、温度 ( T ) 之间的关系。

参考来源：

• 数学分析教材（如华东师范大学数学系编《数学分析》）对隐函数定义和隐函数定理有系统阐述。
• 高等数学教材（如同济大学《高等数学》）详细介绍了隐函数求导方法及其应用。
• 专业数学资源网站如 Wolfram MathWorld 提供了严谨的定义和相关定理说明（MathWorld - Implicit Function）。

网络扩展资料

隐函数（implicit function）是数学中描述变量间关系的一种形式，其核心特征是通过一个方程（而非显式表达式）间接定义变量之间的依赖关系。以下从不同角度详细解释：

1. 定义与形式
   隐函数通常表示为方程形式：
   $$ F(x, y) = 0 $$
   其中变量( y )无法直接解出为( y = f(x) )，而是与( x )共同隐含在方程中。例如，圆的方程( x + y = r )即为隐函数，无法显式表达为唯一的( y = f(x) )。

2. 与显函数的区别

   • 显函数（Explicit Function）：直接表达为( y = f(x) )，如( y = sin x )。
   • 隐函数：需通过解方程间接确定变量关系，例如( e^{xy} + ln y = 1 )。

3. 隐函数定理
   该定理是分析隐函数存在性的关键工具，指出：若方程( F(x, y) = 0 )在某点( (a, b) )满足：

   • ( F(a, b) = 0 )
   • ( F )在附近连续可微
   • 偏导数( frac{partial F}{partial y} eq 0 )
     则存在唯一可导函数( y = f(x) )在局部区域内满足原方程。

4. 应用场景

   • 几何学：描述曲线或曲面（如椭圆、双曲线方程）。
   • 物理学：解决动力学方程或守恒律问题。
   • 工程学：建模复杂系统（如流体力学中的隐式关系）。

5. 实际例子

   • 开普勒方程( M = E - esin E )（天文轨道计算）
   • 经济模型中的供需平衡方程

隐函数的优势在于处理无法显式化的复杂关系，但分析时需借助微分或数值方法。理解这一概念对学习微积分、微分方程及多变量分析至关重要。

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