implicit function是什麼意思，implicit function的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

隱函數（Implicit Function） 是數學分析中的一個核心概念，指由方程而非顯式表達式定義的函數關系。具體來說：

1. 定義方式：當一個方程的形式為 ( F(x, y) = 0 )（二元）或更一般地 ( F(x_1, x_2, dots, x_n, y) = 0 )（多元）時，如果存在函數關系 ( y = f(x_1, x_2, dots, x_n) ) 使得将該函數代入原方程後，方程在某個區域内恒成立，則稱 ( y ) 是變量 ( x_1, x_2, dots, x_n ) 的隱函數。方程 ( F(x, y) = 0 ) 本身稱為隱式方程。

2. 與顯函數的區别：

   • 顯函數（Explicit Function）：函數關系直接表示為因變量等于自變量的表達式，例如 ( y = x + sin(x) )，其中 ( y ) 被顯式地解出并用 ( x ) 表示。
   • 隱函數（Implicit Function）：函數關系隱含在一個方程中，因變量沒有（或難以）被顯式解出。例如，圓的方程 ( x + y = r ) 定義了 ( y ) 關于 ( x )（或 ( x ) 關于 ( y )）的隱函數關系。雖然可以解出 ( y = pm sqrt{r - x} )，但方程本身并不直接給出這個表達式。

3. 存在性與唯一性（隱函數定理）：并非所有形如 ( F(x, y) = 0 ) 的方程都能在某個點附近唯一地确定一個隱函數 ( y = f(x) )。隱函數定理提供了保證隱函數存在、唯一且具有良好性質（如連續性、可微性）的充分條件。該定理要求：

   • 函數 ( F ) 在點 ( (x_0, y_0) )（滿足 ( F(x_0, y_0) = 0 )）的某個鄰域内連續可微（偏導數存在且連續）。
   • 在該點處，關于 ( y ) 的偏導數不為零，即 ( frac{partial F}{partial y} bigg|_{(x_0, y_0)} eq 0 )。 滿足這些條件時，則在點 ( (x_0, y_0) ) 附近存在唯一的、連續可微的函數 ( y = f(x) )，使得 ( F(x, f(x)) = 0 )，且其導數可通過隱函數求導法求得。

4. 應用與意義：

   • 描述複雜關系：許多自然現象和幾何曲線（如橢圓、雙曲線）難以或無法用顯函數表示，隱函數提供了一種自然的描述方式。
   • 隱函數求導：即使無法顯式解出 ( y )，也能直接對方程 ( F(x, y) = 0 ) 兩邊關于 ( x ) 求導（利用鍊式法則），求出導數 ( frac{dy}{dx} ) 或偏導數。這是微積分中的關鍵技術。
   • 理論基礎：是理解反函數、參數方程以及更一般流形理論的基礎。

示例：

• 方程 ( x + y - 1 = 0 ) 在點 ( (0, 1) ) 附近（滿足 ( frac{partial F}{partial y} = 2y eq 0 )）定義了隱函數 ( y = sqrt{1 - x} )（上半圓）。
• 熱力學中的狀态方程（如範德瓦爾斯方程）常以隱函數形式給出壓力 ( P )、體積 ( V )、溫度 ( T ) 之間的關系。

參考來源：

• 數學分析教材（如華東師範大學數學系編《數學分析》）對隱函數定義和隱函數定理有系統闡述。
• 高等數學教材（如同濟大學《高等數學》）詳細介紹了隱函數求導方法及其應用。
• 專業數學資源網站如 Wolfram MathWorld 提供了嚴謹的定義和相關定理說明（MathWorld - Implicit Function）。

網絡擴展資料

隱函數（implicit function）是數學中描述變量間關系的一種形式，其核心特征是通過一個方程（而非顯式表達式）間接定義變量之間的依賴關系。以下從不同角度詳細解釋：

1. 定義與形式
   隱函數通常表示為方程形式：
   $$ F(x, y) = 0 $$
   其中變量( y )無法直接解出為( y = f(x) )，而是與( x )共同隱含在方程中。例如，圓的方程( x + y = r )即為隱函數，無法顯式表達為唯一的( y = f(x) )。

2. 與顯函數的區别

   • 顯函數（Explicit Function）：直接表達為( y = f(x) )，如( y = sin x )。
   • 隱函數：需通過解方程間接确定變量關系，例如( e^{xy} + ln y = 1 )。

3. 隱函數定理
   該定理是分析隱函數存在性的關鍵工具，指出：若方程( F(x, y) = 0 )在某點( (a, b) )滿足：

   • ( F(a, b) = 0 )
   • ( F )在附近連續可微
   • 偏導數( frac{partial F}{partial y} eq 0 )
     則存在唯一可導函數( y = f(x) )在局部區域内滿足原方程。

4. 應用場景

   • 幾何學：描述曲線或曲面（如橢圓、雙曲線方程）。
   • 物理學：解決動力學方程或守恒律問題。
   • 工程學：建模複雜系統（如流體力學中的隱式關系）。

5. 實際例子

   • 開普勒方程( M = E - esin E )（天文軌道計算）
   • 經濟模型中的供需平衡方程

隱函數的優勢在于處理無法顯式化的複雜關系，但分析時需借助微分或數值方法。理解這一概念對學習微積分、微分方程及多變量分析至關重要。

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