epitrochoid是什么意思，epitrochoid的意思翻译、用法、同义词、例句

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Epitrochoid（外次摆线）的详细解释

Epitrochoid（外次摆线）是平面几何中的一种曲线，属于次摆线（Trochoid）的一种特定类型。它描述了一个动点附着在一个圆（称为动圆或生成圆）外侧，当该动圆沿着另一个固定的圆（称为基圆）外侧作纯滚动（无滑动地滚动）时，该动点所描绘出的轨迹。

1. 定义与形成机制：

   • 想象两个圆：一个固定的大圆（基圆，半径 R）和一个在其外部滚动的小圆（动圆，半径 r）。
   • 在动圆圆周之外（或之内，但不在圆周上）固定一个点 P。这个点 P 到动圆中心的距离记为 d。
   • 当动圆紧贴着基圆外侧滚动时（始终保持相切），点 P 在空间中移动的路径就是一条 Epitrochoid。
   • 如果点 P 位于动圆圆周上（d = r），则形成的曲线称为Epicycloid（外摆线）。因此，Epicycloid 是 Epitrochoid 的一个特例。

2. 数学表达（参数方程）： Epitrochoid 的轨迹可以用参数方程精确描述。设基圆半径为 R，动圆半径为 r，点 P 到动圆中心的距离为 d，参数 θ 为动圆滚过的角度（通常也对应基圆上接触点转过的角度）。则点 P 的坐标 (x, y) 为： $$ x = (R + r) cos theta - d cosleft(frac{R + r}{r} theta right) $$ $$ y = (R + r) sin theta - d sinleft(frac{R + r}{r} theta right) $$ 其中：

   • (R + r) cos θ 和 (R + r) sin θ 描述了动圆中心相对于基圆中心的运动轨迹（也是一个圆）。
   • d cos((R + r)/r * θ) 和 d sin((R + r)/r * θ) 描述了动点 P 相对于动圆中心的运动（由于动圆在自转）。(R + r)/r 是动圆相对于固定坐标系的自转角速度与公转角速度（θ）的比值。

3. 形状的关键影响因素： Epitrochoid 的具体形状由两个比值决定：

   • 半径比 (R/r)： 基圆半径 R 与动圆半径 r 的比值。这个比值决定了曲线有多少个“花瓣”或“环”。
   • 距离比 (d/r)： 点 P 到动圆中心的距离 d 与动圆半径 r 的比值。这个比值决定了点 P 是位于动圆外 (d > r)、圆周上 (d = r，即 Epicycloid) 还是动圆内 (d < r)。
   • 当 R/r 是一个有理数时，曲线是闭合的；当 R/r 是无理数时，曲线永远不会闭合。当 d < r 时，曲线可能不自交；当 d > r 时，曲线通常会产生内环或尖点。

4. 应用与实例：

   • 数学与几何： Epitrochoid 是经典的平面曲线，用于研究几何变换、包络线等。
   • 工程与设计： 在机械工程中，Epitrochoid 曲线（特别是当 d < r 时）被用于设计某些类型的转子发动机（如汪克尔发动机）的缸体型线，因为其形状能形成连续的密封腔。
   • 艺术与玩具： 通过调整 R/r 和 d/r，可以生成无数种复杂而美丽的对称图案。著名的玩具万花尺（Spirograph） 的工作原理就是基于绘制 Epitrochoid 和 Hypotrochoid（内次摆线）。

5. 与相关曲线的区别：

   • Epicycloid（外摆线）： Epitrochoid 在 d = r 时的特例，动点在动圆的圆周上。
   • Hypotrochoid（内次摆线）： 当动圆在固定圆内侧滚动时，附着在动圆上的点描绘出的曲线。万花尺也能绘制这种曲线。
   • Cycloid（摆线）： 当动圆沿一条直线（可视为半径无穷大的圆）滚动时，附着在动圆上的点描绘出的曲线。次摆线（Trochoid）是摆线的推广（点不一定在圆周上）。

参考资料：

• Weisstein, Eric W. "Epitrochoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Epitrochoid.html (权威数学百科全书定义与方程)
• Brown University. "Epicycloids and Epitrochoids." https://www.math.brown.edu/reschwar/MathArt/Epitrochoids.html (参数方程解释与可视化)
• University of California, San Diego. "Trochoids." https://math.ucsd.edu/~ebender/20B/77_Trochoids.pdf (参数方程推导与形状影响因素)
• Encyclopaedia Britannica. "Wankel Engine." https://www.britannica.com/technology/Wankel-engine (提及Epitrochoid在转子发动机缸体设计中的应用)
• The Spirograph Company. "How Spirograph Works." https://www.spirograph.com/pages/how-spirograph-works (说明万花尺利用Epitrochoid/Hypotrochoid原理)

网络扩展资料

epitrochoid（外旋轮线）是一种几何曲线，属于摆线（trochoid）的一种特殊类型，其定义和特点如下：

1. 基本定义
当一个小圆在另一个固定大圆的外侧无滑动滚动时，位于小圆外延或内部某一点的轨迹即为epitrochoid。根据该点与小圆中心的距离不同，可形成不同形态：

• 若点在滚动圆周上（距离等于小圆半径），轨迹为普通外摆线（epicycloid）。
• 若点距离滚动圆中心更近或更远，则形成长短辐圆外旋轮线（即epitrochoid）。

2. 数学参数方程
假设固定圆半径为( R )，滚动圆半径为( r )，点到滚动圆中心的距离为( d )，则参数方程为： $$ x = (R + r)costheta - dcosleft(frac{R + r}{r}thetaright) $$ $$ y = (R + r)sintheta - dsinleft(frac{R + r}{r}thetaright) $$ 其中( theta )为滚动圆转过的角度。

3. 图形特点

• 当( d < r )时，轨迹呈现内凹的环状；
• 当( d > r )时，形成带有尖点的星形结构；
• 曲线闭合条件为( frac{R}{r} )为有理数。

4. 应用领域
外旋轮线在工程学中用于设计齿轮齿廓（如行星齿轮）和某些机械结构（如转子发动机缸体）。著名的应用案例包括马自达转子发动机的缸体型线设计。

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