epitrochoid是什麼意思，epitrochoid的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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Epitrochoid（外次擺線）的詳細解釋

Epitrochoid（外次擺線）是平面幾何中的一種曲線，屬于次擺線（Trochoid）的一種特定類型。它描述了一個動點附着在一個圓（稱為動圓或生成圓）外側，當該動圓沿着另一個固定的圓（稱為基圓）外側作純滾動（無滑動地滾動）時，該動點所描繪出的軌迹。

1. 定義與形成機制：

   • 想象兩個圓：一個固定的大圓（基圓，半徑 R）和一個在其外部滾動的小圓（動圓，半徑 r）。
   • 在動圓圓周之外（或之内，但不在圓周上）固定一個點 P。這個點 P 到動圓中心的距離記為 d。
   • 當動圓緊貼着基圓外側滾動時（始終保持相切），點 P 在空間中移動的路徑就是一條 Epitrochoid。
   • 如果點 P 位于動圓圓周上（d = r），則形成的曲線稱為Epicycloid（外擺線）。因此，Epicycloid 是 Epitrochoid 的一個特例。

2. 數學表達（參數方程）： Epitrochoid 的軌迹可以用參數方程精确描述。設基圓半徑為 R，動圓半徑為 r，點 P 到動圓中心的距離為 d，參數 θ 為動圓滾過的角度（通常也對應基圓上接觸點轉過的角度）。則點 P 的坐标 (x, y) 為： $$ x = (R + r) cos theta - d cosleft(frac{R + r}{r} theta right) $$ $$ y = (R + r) sin theta - d sinleft(frac{R + r}{r} theta right) $$ 其中：

   • (R + r) cos θ 和 (R + r) sin θ 描述了動圓中心相對于基圓中心的運動軌迹（也是一個圓）。
   • d cos((R + r)/r * θ) 和 d sin((R + r)/r * θ) 描述了動點 P 相對于動圓中心的運動（由于動圓在自轉）。(R + r)/r 是動圓相對于固定坐标系的自轉角速度與公轉角速度（θ）的比值。

3. 形狀的關鍵影響因素： Epitrochoid 的具體形狀由兩個比值決定：

   • 半徑比 (R/r)： 基圓半徑 R 與動圓半徑 r 的比值。這個比值決定了曲線有多少個“花瓣”或“環”。
   • 距離比 (d/r)： 點 P 到動圓中心的距離 d 與動圓半徑 r 的比值。這個比值決定了點 P 是位于動圓外 (d > r)、圓周上 (d = r，即 Epicycloid) 還是動圓内 (d < r)。
   • 當 R/r 是一個有理數時，曲線是閉合的；當 R/r 是無理數時，曲線永遠不會閉合。當 d < r 時，曲線可能不自交；當 d > r 時，曲線通常會産生内環或尖點。

4. 應用與實例：

   • 數學與幾何： Epitrochoid 是經典的平面曲線，用于研究幾何變換、包絡線等。
   • 工程與設計： 在機械工程中，Epitrochoid 曲線（特别是當 d < r 時）被用于設計某些類型的轉子發動機（如汪克爾發動機）的缸體型線，因為其形狀能形成連續的密封腔。
   • 藝術與玩具： 通過調整 R/r 和 d/r，可以生成無數種複雜而美麗的對稱圖案。著名的玩具萬花尺（Spirograph） 的工作原理就是基于繪制 Epitrochoid 和 Hypotrochoid（内次擺線）。

5. 與相關曲線的區别：

   • Epicycloid（外擺線）： Epitrochoid 在 d = r 時的特例，動點在動圓的圓周上。
   • Hypotrochoid（内次擺線）： 當動圓在固定圓内側滾動時，附着在動圓上的點描繪出的曲線。萬花尺也能繪制這種曲線。
   • Cycloid（擺線）： 當動圓沿一條直線（可視為半徑無窮大的圓）滾動時，附着在動圓上的點描繪出的曲線。次擺線（Trochoid）是擺線的推廣（點不一定在圓周上）。

參考資料：

• Weisstein, Eric W. "Epitrochoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Epitrochoid.html (權威數學百科全書定義與方程)
• Brown University. "Epicycloids and Epitrochoids." https://www.math.brown.edu/reschwar/MathArt/Epitrochoids.html (參數方程解釋與可視化)
• University of California, San Diego. "Trochoids." https://math.ucsd.edu/~ebender/20B/77_Trochoids.pdf (參數方程推導與形狀影響因素)
• Encyclopaedia Britannica. "Wankel Engine." https://www.britannica.com/technology/Wankel-engine (提及Epitrochoid在轉子發動機缸體設計中的應用)
• The Spirograph Company. "How Spirograph Works." https://www.spirograph.com/pages/how-spirograph-works (說明萬花尺利用Epitrochoid/Hypotrochoid原理)

網絡擴展資料

epitrochoid（外旋輪線）是一種幾何曲線，屬于擺線（trochoid）的一種特殊類型，其定義和特點如下：

1. 基本定義
當一個小圓在另一個固定大圓的外側無滑動滾動時，位于小圓外延或内部某一點的軌迹即為epitrochoid。根據該點與小圓中心的距離不同，可形成不同形态：

• 若點在滾動圓周上（距離等于小圓半徑），軌迹為普通外擺線（epicycloid）。
• 若點距離滾動圓中心更近或更遠，則形成長短輻圓外旋輪線（即epitrochoid）。

2. 數學參數方程
假設固定圓半徑為( R )，滾動圓半徑為( r )，點到滾動圓中心的距離為( d )，則參數方程為： $$ x = (R + r)costheta - dcosleft(frac{R + r}{r}thetaright) $$ $$ y = (R + r)sintheta - dsinleft(frac{R + r}{r}thetaright) $$ 其中( theta )為滾動圓轉過的角度。

3. 圖形特點

• 當( d < r )時，軌迹呈現内凹的環狀；
• 當( d > r )時，形成帶有尖點的星形結構；
• 曲線閉合條件為( frac{R}{r} )為有理數。

4. 應用領域
外旋輪線在工程學中用于設計齒輪齒廓（如行星齒輪）和某些機械結構（如轉子發動機缸體）。著名的應用案例包括馬自達轉子發動機的缸體型線設計。

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