cocycle是什么意思，cocycle的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

专业解析

在数学中，"cocycle"（上循环）是同调论与上同调理论的核心概念，指满足特定边界条件的函数或形式。其具体含义依上下文有所不同：

1. 代数拓扑中的解释

   在群上同调理论中，若群( G )作用在阿贝尔群( M )上，一个1-上循环是满足条件( f(gh) = g cdot f(h) + f(g) )的函数( f: G to M )。这类函数用于分类群扩张或描述拓扑空间纤维丛的结构。

2. 微分几何中的应用

   在de Rham上同调中，闭微分形式（即满足( domega = 0 )的微分形式）称为闭形式，属于de Rham上同调群的cocycle元素。这类形式可表征流形的拓扑性质。

3. 代数结构的推广

   在更广泛的范畴论框架下，cocycle可推广为满足交换图条件的态射，例如在层上同调中定义局部截面的相容性条件。这一抽象化处理为现代数学物理中的规范场论提供了基础工具。

网络扩展资料

在数学领域，cocycle（闭上链）是一个重要的术语，主要用于代数拓扑和同调代数理论中。以下是详细解释：

核心定义

cocycle指满足特定条件的“上链”（cochain），即其上边缘（coboundary）为零。具体而言：

• 在代数拓扑中，若一个上链$alpha$满足$delta alpha = 0$（其中$delta$是上边缘算子），则称$alpha$为cocycle。
• 在同调代数中，cocycle是群、环或模的上同调群中的元素，用于描述结构在“上同调意义下”的等价性。

应用领域

1. 代数拓扑
   用于分类纤维丛或研究拓扑空间的不变量，例如：若两个纤维丛的差异是一个coboundary（上边缘），则它们在拓扑意义下等价。

2. 群上同调
   在群作用下的模结构中，1-cocycle需满足关系：
   $$f(gh) = f(g) + g cdot f(h) quad (g,h in G)$$
   这类条件常见于构造群扩张或研究对称性。

相关概念

• Coboundary：若存在一个上链$beta$使得$alpha = delta beta$，则$alpha$称为coboundary。
• 上同调群：由cocycle模去coboundary构成的群，记作$H^n(X; G)$，反映空间$X$的拓扑性质。

扩展说明

在物理学中，cocycle概念也出现在规范场论和量子力学相位因子的研究中。例如，磁通量量子化可通过非平凡的上同调类描述。

如需更专业的数学定义，建议参考代数拓扑教材（如Hatcher的《Algebraic Topology》）或群上同调相关文献。

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