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单叶函数；[数] 简单函数

例句

And note that this was a very ****** function.

请注意这是很简单的一个函数。

In c, you'd write a ****** function like this.

在c语言中可以编写一个简单的函数。

All of these make a ****** function call impossible.

所有这些都使得简单的函数调用是不可能的。

In part, this is a ****** function of supply and demand.

一部分原因可以归结为简单的供需问题。

In Listing 9, I define a ****** function that takes no parameters.

在清单9中，定义了一个没有参数的简单函数。

专业解析

在测度论与实分析中，简单函数（Simple Function） 是指定义在测度空间上、仅取有限个不同实数值的可测函数。其核心特征是将定义域划分为有限个互不相交的可测集，并在每个可测集上取常数值。以下是详细解释：

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一、数学定义

设 $(X, Sigma, mu)$ 是一个测度空间，函数 $s: X to mathbb{R}$ 称为简单函数，若满足：

1. 有限取值性：$s$ 的值域是有限集，即存在有限个实数 $a_1, a_2, dots, a_n$，使得 $s(X) = {a_1, a_2, dots, a_n}$。
2. 可测性：对每个取值 $a_i$，其原像 $s^{-1}({a_i}) = {x in X mid s(x) = a_i}$ 是 $Sigma$ 中的可测集。

简单函数可显式表示为： $$ s(x) = sum_{i=1}^{n} ai cdot mathbf{1}{A_i}(x) $$ 其中 ${A_i}$ 是 $X$ 的有限可测分割（即 $A_i cap Aj = emptyset$ 且 $bigcup{i=1}^n Ai = X$），$mathbf{1}{A_i}$ 是 $A_i$ 的指示函数。

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二、核心特性

1. 可测函数的逼近工具

   简单函数是构造一般可测函数积分的基础。任何非负可测函数 $f$ 均可由一列单调递增的简单函数逼近，即存在 $s_n uparrow f$。这一性质是定义 Lebesgue 积分的关键步骤。

2. 积分的直接定义

   简单函数 $s = sum ai mathbf{1}{Ai}$ 的积分定义为： $$ int sdmu = sum{i=1}^{n} a_i cdot mu(A_i) $$ 该定义直观反映了函数在可测集上的“加权面积”。

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三、应用场景

1. Lebesgue 积分理论

   通过简单函数的积分逐步扩展至一般可测函数的积分，解决了 Riemann 积分对不连续函数处理的局限性。

2. 概率论中的随机变量

   离散型随机变量本质是简单函数，其期望计算 $E[X] = sum x_i P(X=x_i)$ 即简单函数积分的特例。

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权威参考来源

1. 《Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications》（G. Folland）

   第 2.1 章详细论述简单函数在测度论中的角色及其对积分构造的意义。

   链接：Academic Press 出版社书目（需通过学术渠道访问）

2. 《Measure Theory》（P. Halmos）

   经典教材第 IV 章以简单函数为起点建立积分理论，强调其可测集分割的本质。

   链接：Springer 数学研究生教材系列

3. 《Probability and Measure》（P. Billingsley）

   第 3 章将简单函数作为可测函数积分的基石，并关联至概率空间的应用。

   链接：Wiley 数学统计教材

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四、实例说明

考虑定义在 $$ 上的函数： $$ s(x) = begin{cases} 1 & text{if } x in [0, 0.3) 2 & text{if } x in [0.3, 0.7) 3 & text{if } x in [0.7, 1] end{cases} $$ 这是一个简单函数：其值域为 ${1,2,3}$，且每个原像区间均为可测集。若赋予 Lebesgue 测度，其积分为 $1 cdot 0.3 + 2 cdot 0.4 + 3 cdot 0.3 = 2.0$。

网络扩展资料

“simple function”在不同领域中有不同的含义，以下是两个主要解释：

1.数学中的简单函数（测度论与实分析）

在数学中，简单函数（simple function）是测度论和实分析中的基础概念，定义为有限个指示函数（indicator functions）的线性组合。具体形式为： $$ f(x) = sum_{i=1}^n ai cdot mathbf{1}{A_i}(x), $$ 其中：

• $a_i$ 是实常数，
• $mathbf{1}_{A_i}(x)$ 是集合 $A_i$ 的指示函数（当 $x in A_i$ 时值为1，否则为0），
• 所有集合 $A_i$ 需为可测集且两两不相交。

特点：

• 仅取有限个实数值，
• 用于逼近可测函数（如勒贝格积分中的积分定义）。

示例： 阶梯函数（如分段常数函数）是典型的简单函数。

2.编程与一般语境中的“简单函数”

在编程中，“simple function”通常指功能单一、结构简洁的函数。例如：

• 仅完成单一任务（如计算两数之和），
• 代码简短、无复杂逻辑或副作用，
• 符合模块化设计原则，便于测试和维护。

示例：

def add(a, b):
return a + b

• 数学定义强调有限性和可测性，是积分理论的基础工具。
• 编程定义强调代码的简洁性和功能性，属于软件工程实践范畴。

若需更具体的领域解释（如统计学或工程学），可进一步说明。

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