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[数] 矩阵范数

例句

This criterions is more conservative than those expressed by the matrix measure and matrix norm.

这个准则比用矩阵测度和矩阵范数来描述的准则具有更小的保守性。

Decentralized control of region for nonlinear composite systems with input saturation is stu***d by using Lyapunov's theory and matrix norm properties.

利用李雅普·诺夫方法和矩阵范数性质研究了具有饱和输入的非线性组合系统区域分散控制问题。

A upper bound with consistent matrix norm and the estimate for error of AOR iterative method for solving linear equation system, which based on the doubly diagonal dominance, are presented.

在双严格占优矩阵条件下，给出了相容矩阵范数的一个上界，并以此为基础，得到了线性方程组求解时的AOR迭代法的误差估计式。

Using comparison theorem and some properties of the matrix norm and the matrix measure, the paper provides several stability conditions for single and symmetric composite uncertain delay systems.

利用比较定理、矩阵范数和矩阵测度的有关性质，提出了简单不确定时滞系统及对称组合不确定时滞系统的稳定条件。

How to find Euclidean Norm of rows of a matrix with BLAS?

如何找到一个矩阵与欧几里德范数的BLAS行吗？

专业解析

矩阵范数（matrix norm）是线性代数中衡量矩阵“大小”或“强度”的数学工具，广泛应用于数值分析、机器学习、信号处理等领域。以下从定义、常见类型及应用三个方面进行解释：

一、定义与基本性质

矩阵范数是从矩阵空间映射到实数的函数$|A|$，需满足以下公理：

1. 非负性：$|A| geq 0$，且仅当$A=0$时等号成立
2. 齐次性：$|alpha A| = |alpha| cdot |A|$（对任意标量$alpha$）
3. 三角不等式：$|A+B| leq |A| + |B|$
4. 次乘性（部分范数）：$|AB| leq |A| cdot |B|$

   此定义源于《线性代数及其应用》（Gilbert Strang著）中的范数体系框架。

二、常见矩阵范数类型

1. Frobenius范数：

   $$|A|F = sqrt{sum{i,j}|a_{ij}|}$$

   类比向量的欧几里得范数，用于矩阵元素级分析，常见于主成分分析（PCA）。

2. 谱范数（2-范数）：

   $$|A|2 = sqrt{lambda{text{max}}(A^T A)}$$

   表示矩阵最大奇异值，在控制系统稳定性分析中起关键作用。

3. 1-范数与∞-范数：

• 列和范数：$|A|_1 = max_j sumi |a{ij}|$
• 行和范数：$|A|_infty = max_i sumj |a{ij}|$

  适用于矩阵结构分析，常见于数值线性代数教材。

三、工程应用实例

1. 数值稳定性评估：矩阵条件数$kappa(A)=|A| cdot |A^{-1}|$可量化线性方程组求解误差敏感度（来源：Numerical Recipes in C）
2. 深度学习正则化：Frobenius范数约束神经网络权重矩阵，防止过拟合（来源：Goodfellow《深度学习》）
3. 量子计算：量子门操作误差通过算子范数度量（来源：Nielsen《量子计算与量子信息》）

网络扩展资料

矩阵范数（matrix norm）是衡量矩阵“大小”或“强度”的一种数学工具，类似于向量范数在向量空间中的作用，但专门针对矩阵设计。以下是其核心概念和常见类型：

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1. 矩阵范数的基本性质

矩阵范数必须满足以下三条公理：

• 非负性：$|A| geq 0$，且$|A|=0$当且仅当$A$为零矩阵；
• 齐次性：$|alpha A| = |alpha| cdot |A|$（$alpha$为标量）；
• 三角不等式：$|A+B| leq |A| + |B|$；
• 次乘性（部分范数特有）：$|AB| leq |A| cdot |B|$（适用于矩阵乘法）。

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2. 常见矩阵范数类型

(a) Frobenius范数

• 定义：将矩阵视为向量计算欧几里得范数： $$ |A|F = sqrt{sum{i=1}^m sum{j=1}^n |a{ij}|} $$
• 应用：机器学习中的正则化（如神经网络权重衰减）。

(b) 诱导范数（Operator Norm）

由向量范数诱导而来，定义为： $$ |A| = max_{|x|=1} |Ax| $$

• 1-范数（列和范数）：最大列绝对值之和，$|A|_1 = max_j sumi |a{ij}|$；
• ∞-范数（行和范数）：最大行绝对值之和，$|A|_infty = max_i sumj |a{ij}|$；
• 2-范数（谱范数）：最大奇异值，$|A|2 = sigma{text{max}}(A)$，用于分析矩阵变换的缩放效应。

(c) 核范数（Nuclear Norm）

• 定义：所有奇异值之和，$|A|_* = sum_i sigma_i$；
• 应用：低秩矩阵恢复（如推荐系统、图像修复）。

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3. 矩阵范数的应用

• 数值稳定性分析：评估线性方程组$Ax=b$的解对扰动的敏感度；
• 优化问题：在矩阵分解、压缩感知中作为约束或正则项；
• 机器学习：控制模型复杂度（如Frobenius范数用于权重矩阵的正则化）。

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4. 重要性质

• 等价性：所有矩阵范数在有限维空间内等价，即存在常数$c,C$使得$c|A|_alpha leq |A|_beta leq C|A|_alpha$；
• 谱半径关系：对任意诱导范数，$rho(A) leq |A|$（$rho(A)$为矩阵谱半径）。

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如需进一步了解具体推导或应用场景，建议参考线性代数教材或数值分析资料。

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