frustum是什么意思，frustum的意思翻译、用法、同义词、例句

frustum英标

英:/''frʌstəm/ 美:/'ˈfrʌstəm/

词性

复数 frustums或frusta

常用词典

例句

专业解析

frustum（中文常译为“平截头体”或“截锥体”）是一个几何学术语，指通过一个平面（不与底面平行）截去锥体或棱锥的顶部后剩余的部分。其核心特征在于拥有两个平行且形状相似（但不全等）的底面（一个较大的底面和一个较小的顶面），以及连接这两个底面的侧面。

详细解释

1. 几何定义：

   • 若原始物体为圆锥（cone），则其平截头体称为圆台（conical frustum）。其两个底面为平行且相似的圆形，侧面为曲面（圆锥曲面的一部分）。
   • 若原始物体为棱锥（pyramid），则其平截头体称为棱台（pyramidal frustum）。其两个底面为平行且相似的多边形（边数相同），侧面为梯形或平行四边形（取决于截面的位置）。
   • 关键特性是用于截断的平面必须平行于原始锥体的底面，这样才能保证生成的两个底面平行且相似。

2. 特征：

   • 两个平行底面：一大一小，形状相似（缩放关系）。
   • 侧面：连接两个底面的对应边。对于圆台是曲面；对于棱台是平面（梯形或平行四边形）。
   • 高度（Altitude）：两个平行底面之间的垂直距离。
   • 母线（Slant Height）（仅适用于圆台）：侧面上连接两个底面圆周的线段长度（对于直圆台，所有母线等长）。

3. 常见应用：

   • 几何计算：计算平截头体的体积、表面积、侧面积是几何学中的常见问题。例如，圆台的体积公式为： $$ V = frac{1}{3} pi h (R + Rr + r) $$ 其中 (h) 是高，(R) 和 (r) 分别是下底面和上底面的半径。
   • 计算机图形学与CAD：在3D建模中，平截头体（特别是四棱锥的平截头体）常用于定义视锥体（viewing frustum），即摄像机或观察者可见的空间区域（一个被近裁剪面和远裁剪面截断的金字塔形空间）。
   • 工程与建筑：许多结构（如冷却塔、部分桥梁墩柱、装饰构件）的形状可以抽象为平截头体。
   • 日常物品：水桶、灯罩、某些酒杯的形状可视为平截头体。

参考来源

• Wolfram MathWorld：提供了 frustum 的严格数学定义、分类（圆锥、棱锥）及基本性质。 (来源：Wolfram MathWorld - Frustum)
• Encyclopædia Britannica：将 frustum 定义为锥体被两个平行平面（其中之一通常为底面）截断后的部分，强调了平行底面的重要性。 (来源：Encyclopædia Britannica - Frustum)
• CK-12 Foundation：解释了 frustum 的形成过程（截去锥体顶部），并区分了圆锥平截头体（圆台）和棱锥平截头体（棱台）。 (来源：CK-12 Foundation - Frustum)
• 《几何原本》（Elements by Euclid）：虽然未直接使用“frustum”一词，但欧几里得几何奠定了锥体和平行截面性质的基础，这些是理解 frustum 的关键。 (概念来源：欧几里得几何)
• 微分几何教材：在更高级的几何学中，会研究平截头体曲面的性质。 (概念来源：微分几何)

网络扩展资料

“frustum”是几何学中的一个术语，指一个立体图形被两个平行平面截取后剩余的部分。它通常用于描述圆锥或棱锥被截断后的形状，中文常译为“平截头体””截头锥体”或“截头台”。

详细解释：

1. 结构与组成

   • frustum由两个平行的底面和一个连接它们的侧面组成。
   • 若原立体是圆锥，则两个底面为圆形；若原立体是棱锥（如三棱锥），底面则为多边形。
   • 侧面可以是曲面（如圆锥截头体）或平面（如棱锥截头体）。

2. 数学公式
   圆锥截头体的体积公式为：
   $$
   V = frac{1}{3} pi h (R + Rr + r)
   $$
   其中：

   • ( R ) 和 ( r ) 是底面和顶面的半径
   • ( h ) 是两底面之间的垂直高度。

3. 应用场景

   • 计算机图形学：视锥体（viewing frustum）用于定义3D场景中的可见范围（如游戏和渲染中的相机视野）。
   • 工程与建筑：截头锥体结构常见于柱子、水箱或管道设计中，兼具功能性和稳定性。
   • 日常物品：如梯形杯子、台灯罩等。

4. 与其他术语的关联

   • 若截断平面与原立体的底面不平行，则形成的图形称为“斜截头体”（truncated solid）。
   • 当顶面缩小为一个点时，frustum恢复为原始圆锥或棱锥。

词源与扩展

“frustum”源自拉丁语，意为“碎片”或“断裂的部分”。在数学中，它特指通过截断原立体后保留的中间部分。例如，截断金字塔（如吉萨金字塔的顶部被移除）的剩余部分即为一个棱锥平截头体。

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