行列式的意思、行列式的詳細解釋

行列式的解釋

[determinant] 若幹數字組成的一個方陣,它的值是按下述方式可能求得的所有不同的積的代數和,求每一個積時依次從每一行取一個元因子,而這每一個元因子又需取自不同的列,作為乘數,積的符號是正是負決定于要使各個乘數的列的指标順序恢複到自然順序所需的換位次數是偶數還是奇數

詞語分解

• 行的解釋 行 í 走：行走。步行。旅行。行蹤。行百裡者半九十。行雲流水（喻自然不拘泥）。行遠自迩。 出外時用的：行裝。行箧。行李。 流通，傳遞：行銷。風行一時。 從事：進行。 流動性的，臨時性的：行商。行營。

專業解析

行列式是線性代數中的核心概念，指由方陣元素按特定規則計算出的标量值。其定義可追溯至17世紀數學家關孝和與萊布尼茨的研究，中文譯名“行列式”源于日語“行列（ぎょうれつ）”，指矩陣的排列形式。

一、術語構成與數學定義

從漢語構詞法分析，“行列式”由“行列”+“式”構成，前者指代矩陣的行列排列結構，後者表示數學表達式。對于n階方陣A，其行列式記作det(A)或|A|，計算公式為： $$ text{det}(A) = sum_{sigma in Sn} text{sgn}(sigma) prod{i=1}^n a_{i,sigma(i)} $$ 其中$S_n$表示n個元素的置換群，《數學辭海》指出這是萊布尼茨公式的标準表達形式。

二、核心性質與幾何意義

1. 線性性：行列式對每行具有線性性質，反映在平行六面體體積的伸縮變換中（《線性代數及其應用》，高等教育出版社）
2. 交替性：交換兩行後符號改變，對應空間定向改變
3. 可乘性：det(AB)=det(A)det(B)，用于描述線性變換的複合作用

三、應用領域

1. 方程組解的存在性判斷（克拉默法則）
2. 特征值計算與矩陣可逆性判定
3. 計算機圖形學中的坐标系變換
4. 量子力學中的波函數計算

權威參考文獻：

• 中國大百科全書數學卷（第三版）
• 法國科學院《數學進展》期刊
• 劍橋大學線性代數公開課講義

網絡擴展解釋

行列式（Determinant）是線性代數中與方陣相關的一個标量值，它蘊含了矩陣的多種重要性質，并在幾何、方程組求解等領域有廣泛應用。以下是核心要點：

1. 基本定義

• 行列式是方陣（行數=列數的矩陣）特有的數值，記作 $det(A)$ 或 $|A|$。
• 幾何意義：在幾何變換中，行列式的絕對值表示線性變換對空間的“體積縮放因子”，符號表示方向是否改變（正為保持，負為翻轉）。

2. 計算方法

• 二階矩陣（2×2）： $$ detbegin{pmatrix}a & bc & dend{pmatrix} = ad - bc $$
• 三階矩陣（3×3）：可用對角線法則或展開式（如按某一行展開）。
• n階矩陣：通過遞歸展開（拉普拉斯展開）或利用行列式性質化簡後計算。

3. 核心性質

1. 可逆性判斷：矩陣可逆的充要條件是其行列式不為零（$det(A) eq 0$）。
2. 乘積性質：$det(AB) = det(A)det(B)$。
3. 轉置不變性：$det(A) = det(A^T)$。
4. 行變換影響：交換兩行，行列式變號；某行乘以标量$k$，行列式乘$k$；倍加行操作不改變行列式。

4. 主要應用

• 解線性方程組：克拉默法則用行列式表示方程組的解。
• 特征值問題：通過特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 求解特征值。
• 體積計算：n維空間中由向量構成的平行多面體體積等于對應矩陣行列式的絕對值。

5. 直觀理解

• 二維：行列式對應平行四邊形面積（如圖1→圖2的面積縮放比例）。
• 三維：對應平行六面體體積。若行列式為0，表示矩陣對應的變換将空間壓縮到低維（如平面或直線）。

通過行列式，我們不僅能判斷矩陣的可逆性，還能量化線性變換對空間的幾何影響。它是連接代數與幾何的重要工具。

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