行列式的意思、行列式的详细解释

行列式的解释

[determinant] 若干数字组成的一个方阵,它的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和,求每一个积时依次从每一行取一个元因子,而这每一个元因子又需取自不同的列,作为乘数,积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数

词语分解

• 行的解释 行 í 走：行走。步行。旅行。行踪。行百里者半九十。行云流水（喻自然不拘泥）。行远自迩。 出外时用的：行装。行箧。行李。 流通，传递：行销。风行一时。 从事：进行。 流动性的，临时性的：行商。行营。

专业解析

行列式是线性代数中的核心概念，指由方阵元素按特定规则计算出的标量值。其定义可追溯至17世纪数学家关孝和与莱布尼茨的研究，中文译名“行列式”源于日语“行列（ぎょうれつ）”，指矩阵的排列形式。

一、术语构成与数学定义

从汉语构词法分析，“行列式”由“行列”+“式”构成，前者指代矩阵的行列排列结构，后者表示数学表达式。对于n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，计算公式为： $$ text{det}(A) = sum_{sigma in Sn} text{sgn}(sigma) prod{i=1}^n a_{i,sigma(i)} $$ 其中$S_n$表示n个元素的置换群，《数学辞海》指出这是莱布尼茨公式的标准表达形式。

二、核心性质与几何意义

1. 线性性：行列式对每行具有线性性质，反映在平行六面体体积的伸缩变换中（《线性代数及其应用》，高等教育出版社）
2. 交替性：交换两行后符号改变，对应空间定向改变
3. 可乘性：det(AB)=det(A)det(B)，用于描述线性变换的复合作用

三、应用领域

1. 方程组解的存在性判断（克拉默法则）
2. 特征值计算与矩阵可逆性判定
3. 计算机图形学中的坐标系变换
4. 量子力学中的波函数计算

权威参考文献：

• 中国大百科全书数学卷（第三版）
• 法国科学院《数学进展》期刊
• 剑桥大学线性代数公开课讲义

网络扩展解释

行列式（Determinant）是线性代数中与方阵相关的一个标量值，它蕴含了矩阵的多种重要性质，并在几何、方程组求解等领域有广泛应用。以下是核心要点：

1. 基本定义

• 行列式是方阵（行数=列数的矩阵）特有的数值，记作 $det(A)$ 或 $|A|$。
• 几何意义：在几何变换中，行列式的绝对值表示线性变换对空间的“体积缩放因子”，符号表示方向是否改变（正为保持，负为翻转）。

2. 计算方法

• 二阶矩阵（2×2）： $$ detbegin{pmatrix}a & bc & dend{pmatrix} = ad - bc $$
• 三阶矩阵（3×3）：可用对角线法则或展开式（如按某一行展开）。
• n阶矩阵：通过递归展开（拉普拉斯展开）或利用行列式性质化简后计算。

3. 核心性质

1. 可逆性判断：矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零（$det(A) eq 0$）。
2. 乘积性质：$det(AB) = det(A)det(B)$。
3. 转置不变性：$det(A) = det(A^T)$。
4. 行变换影响：交换两行，行列式变号；某行乘以标量$k$，行列式乘$k$；倍加行操作不改变行列式。

4. 主要应用

• 解线性方程组：克拉默法则用行列式表示方程组的解。
• 特征值问题：通过特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 求解特征值。
• 体积计算：n维空间中由向量构成的平行多面体体积等于对应矩阵行列式的绝对值。

5. 直观理解

• 二维：行列式对应平行四边形面积（如图1→图2的面积缩放比例）。
• 三维：对应平行六面体体积。若行列式为0，表示矩阵对应的变换将空间压缩到低维（如平面或直线）。

通过行列式，我们不仅能判断矩阵的可逆性，还能量化线性变换对空间的几何影响。它是连接代数与几何的重要工具。

别人正在浏览...

百货公司爆眼砭焫兵棱斥道弛声走誉诞肆洞察一切短衣繁阜发言锋铄风誉腐烂辅贤甘蔗高傲晷曜郭穴还敬横恩环水会喜艰难见危致命交岔家族制度饥寒交切居安资深举察开门揖盗科别枯槀拉场子来世老脱麟止六耳率土归心骂嚷迷关冥穷隦堄前人种树，后人乘凉跷欹情逾骨肉荣任如旧声家受暑霜露之思书素窣磕通方推挤逶媠威骇吴练消闷萧斋