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幂級數的解釋

[power series] 各項是一變量的連續整幂方和常數之積的無窮級數

詞語分解

• 幂的解釋 幂 ì 覆蓋東西的巾。 覆蓋，遮蓋。 數學上指一個數自乘若幹次形式：幂次（方次）。乘幂（乘方）。 筆畫數：； 部首：巾； 筆順編號：
• 級數的解釋 ∶用加號連接諸項來從一個數學序列求得的式 ∶一個數學項序列,其中第一項後的項按一個規則确定。亦稱;數列;詳細解釋.等級的序次。《漢書·食貨志上》：“於是 文帝 從 錯 之言，令民入粟邊，六百石爵上造

網絡擴展解釋

幂級數是數學分析中的重要概念，其一般形式為： $$ sum_{n=0}^{infty} a_n (x - a)^n = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a) + cdots $$ 其中：

• $bm{a}$ 稱為展開中心（或中心點）
• $bm{a_n}$ 是常數系數
• $bm{x}$ 是自變量

核心特性

1. 收斂半徑
   存在非負數 $R$，使得當 $|x-a| < R$ 時級數絕對收斂，$|x-a| > R$ 時發散。通過根值法或比值法計算： $$ R = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}} $$

2. 收斂域
   在收斂半徑端點 $x = a pm R$ 處需單獨驗證收斂性，可能得到區間、單點或空集。

3. 解析函數表示
   在收斂域内，幂級數可表示一個解析函數，且可逐項求導、積分。

典型應用

• 泰勒級數：以 $a=0$ 為中心的麥克勞林級數是特殊情形（如 $e^x = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!}$）
• 微分方程求解：通過假設解為幂級數形式求解線性微分方程
• 函數逼近：用有限項多項式近似複雜函數（如 $sin x$ 的三階泰勒展開 $x - x/6$）

重要性質

• 唯一性定理：若兩個幂級數在某個鄰域内相等，則對應系數全部相同
• 運算封閉性：在公共收斂域内可進行加減、乘法、逐項微分/積分

該工具将無窮多項式結構與函數性質深度關聯，是連接離散與連續數學的關鍵橋梁。

網絡擴展解釋二

幂級數的意思

幂級數是數學中一種重要的級數形式，它的意思是以自變量的幂次遞增為系數的級數。幂級數在數學分析、微積分和數學物理等領域有廣泛的應用。

拆分部首和筆畫

根據《康熙字典》，幂級數的拆分部首為“幹”，其總筆畫數為13畫。

來源和繁體

幂級數這個詞的來源較為簡單明了，由數學中“幂”的概念和級數的組合而成。在繁體中，幂級數的寫法繁化為「幹級數」。

古時候漢字寫法

在古時候的漢字寫法中，「幹」的本義是指樹幹，與樹木有關。而「級」表示等級、程度的概念。将兩個字合在一起，形成了幂級的意思。

例句

幂級數常被用來近似表示非代數函數。

組詞

幂級數的常見組詞有：幂函數、幂指數、幂指數函數。

近義詞

幂級數的近義詞有：乘方級數、展開式。

反義詞

幂級數的反義詞為：和級數、幾何級數。

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