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幂级数的解释

[power series] 各项是一变量的连续整幂方和常数之积的无穷级数

词语分解

• 幂的解释 幂 ì 覆盖东西的巾。 覆盖，遮盖。 数学上指一个数自乘若干次形式：幂次（方次）。乘幂（乘方）。 笔画数：； 部首：巾； 笔顺编号：
• 级数的解释 ∶用加号连接诸项来从一个数学序列求得的式 ∶一个数学项序列,其中第一项后的项按一个规则确定。亦称;数列;详细解释.等级的序次。《汉书·食货志上》：“於是 文帝 从 错 之言，令民入粟边，六百石爵上造

网络扩展解释

幂级数是数学分析中的重要概念，其一般形式为： $$ sum_{n=0}^{infty} a_n (x - a)^n = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a) + cdots $$ 其中：

• $bm{a}$ 称为展开中心（或中心点）
• $bm{a_n}$ 是常数系数
• $bm{x}$ 是自变量

核心特性

1. 收敛半径
   存在非负数 $R$，使得当 $|x-a| < R$ 时级数绝对收敛，$|x-a| > R$ 时发散。通过根值法或比值法计算： $$ R = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}} $$

2. 收敛域
   在收敛半径端点 $x = a pm R$ 处需单独验证收敛性，可能得到区间、单点或空集。

3. 解析函数表示
   在收敛域内，幂级数可表示一个解析函数，且可逐项求导、积分。

典型应用

• 泰勒级数：以 $a=0$ 为中心的麦克劳林级数是特殊情形（如 $e^x = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!}$）
• 微分方程求解：通过假设解为幂级数形式求解线性微分方程
• 函数逼近：用有限项多项式近似复杂函数（如 $sin x$ 的三阶泰勒展开 $x - x/6$）

重要性质

• 唯一性定理：若两个幂级数在某个邻域内相等，则对应系数全部相同
• 运算封闭性：在公共收敛域内可进行加减、乘法、逐项微分/积分

该工具将无穷多项式结构与函数性质深度关联，是连接离散与连续数学的关键桥梁。

网络扩展解释二

幂级数的意思

幂级数是数学中一种重要的级数形式，它的意思是以自变量的幂次递增为系数的级数。幂级数在数学分析、微积分和数学物理等领域有广泛的应用。

拆分部首和笔画

根据《康熙字典》，幂级数的拆分部首为“干”，其总笔画数为13画。

来源和繁体

幂级数这个词的来源较为简单明了，由数学中“幂”的概念和级数的组合而成。在繁体中，幂级数的写法繁化为「幹級數」。

古时候汉字写法

在古时候的汉字写法中，「幹」的本义是指树干，与树木有关。而「級」表示等级、程度的概念。将两个字合在一起，形成了幂级的意思。

例句

幂级数常被用来近似表示非代数函数。

组词

幂级数的常见组词有：幂函数、幂指数、幂指数函数。

近义词

幂级数的近义词有：乘方级数、展开式。

反义词

幂级数的反义词为：和级数、几何级数。

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