幂级数的意思、幂级数的详细解释

幂级数的解释

[power series] 各项是一变量的连续整幂方和常数之积的无穷级数

词语分解

幂的解释幂 ì 覆盖东西的巾。覆盖，遮盖。数学上指一个数自乘若干次形式：幂次（方次）。乘幂（乘方）。笔画数：；部首：巾；笔顺编号：
级数的解释 ∶用加号连接诸项来从一个数学序列求得的式 ∶一个数学项序列,其中第一项后的项按一个规则确定。亦称;数列;详细解释.等级的序次。《汉书·食货志上》：“於是文帝从错之言，令民入粟边，六百石爵上造

专业解析

幂级数是数学分析中的重要概念，指形如 (sum_{n=0}^{infty} a_n (x - c)^n) 的无穷级数，其中 (a_n) 为常数系数，(c) 为中心点，(x) 为自变量。其名称中的“幂”源于每一项均为自变量 (x) 的幂次形式（如 (x^0, x, x, ldots)），而“级数”表示无穷多项的求和。幂级数在收敛区间内可表示复杂函数，是微积分、微分方程求解的核心工具，广泛应用于物理、工程等领域。

一、术语解析

幂（mì）
汉语中“幂”本义为覆盖物体的巾，引申为数学中的“乘方”运算（如 (x^n) 即 (x) 的 (n) 次幂）。《九章算术》已用“幂”指代面积，后逐步演变为乘方术语。
级数
指将数列的项依次用加号连接而成的表达式。清代数学家李善兰在《代微积拾级》中首次将“series”译为“级数”，强调其“逐级累加”的特性。

二、数学定义与性质

幂级数的标准形式为：

$$ sum_{n=0}^{infty} a_n (x - c)^n = a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c) + cdots $$

其核心特性包括：

收敛半径：存在 (R > 0)，当 (|x - c| < R) 时级数绝对收敛，(|x - c| > R) 时发散（《数学分析教程》，高等教育出版社）。
函数表示：在收敛区间内等价于一个解析函数，例如 (e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!})（《实变函数与泛函分析》，北京大学出版社）。

三、应用价值

函数逼近
泰勒级数通过幂级数局部逼近复杂函数，如 (sin x = x - frac{x}{3!} + frac{x}{5!} - cdots)。

微分方程求解
常微分方程的幂级数解法是理论物理的核心工具（《常微分方程教程》，科学出版社）。

数值计算
计算机通过截断幂级数实现超越函数（如 (ln(1+x))）的高效计算。

参考资料

《中国数学史大系》
《数学辞海》（中国科学技术出版社）
《数学分析新讲》（张筑生，北京大学出版社）
Weisstein, E. W. "Power Series." MathWorld

网络扩展解释

幂级数是数学分析中的重要概念，其一般形式为： $$ sum_{n=0}^{infty} a_n (x - a)^n = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a) + cdots $$ 其中：

$bm{a}$ 称为展开中心（或中心点）
$bm{a_n}$ 是常数系数
$bm{x}$ 是自变量

核心特性

收敛半径
存在非负数 $R$，使得当 $|x-a| < R$ 时级数绝对收敛，$|x-a| > R$ 时发散。通过根值法或比值法计算： $$ R = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}} $$
收敛域
在收敛半径端点 $x = a pm R$ 处需单独验证收敛性，可能得到区间、单点或空集。
解析函数表示
在收敛域内，幂级数可表示一个解析函数，且可逐项求导、积分。

典型应用

泰勒级数：以 $a=0$ 为中心的麦克劳林级数是特殊情形（如 $e^x = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!}$）
微分方程求解：通过假设解为幂级数形式求解线性微分方程
函数逼近：用有限项多项式近似复杂函数（如 $sin x$ 的三阶泰勒展开 $x - x/6$）

重要性质

唯一性定理：若两个幂级数在某个邻域内相等，则对应系数全部相同
运算封闭性：在公共收敛域内可进行加减、乘法、逐项微分/积分

该工具将无穷多项式结构与函数性质深度关联，是连接离散与连续数学的关键桥梁。

别人正在浏览...

卜问猜警才貌层罗差科头赤冀吃口初令从横邸第叠暴丢魂丢魄底掌肥头胖耳風羽公爵过去身过人椁席海内后婿换把子交界教顺挢诬经怀决徒麇至据恃看风转舵款话唠噪离怀沴疠灵殖留连忘返六洲龙门点额墨绶凝炼排除万难陪音穷道趋影戎卒纱屉子沈垫声如洪钟鼪鼯径四隅俗世特号特种条条同德同心透碧空土鼓緼豫夏鼎商彝线毯