跨積的意思、跨積的詳細解釋

跨積的解釋

跨曆，經曆。《宋書·孝義傳·郭原平》：“父抱篤疾彌年， 原平 衣不解帶，口不嘗鹽菜者，跨積寒暑。”

詞語分解

• 跨的解釋 跨 à 擡腿向前或向旁移動越過，邁過：跨進。跨入。跨度。 騎，兩腳分在器物的兩邊坐着或立着：跨馬。小孩跨着門檻。 超過時間或地區之間的界限：跨越。跨年度。跨國公司。 附在旁邊：跨院。 古同“胯”。
• 積的解釋 積 （積） ī 聚集：積少成多。處心積慮。積儲。積憤。積郁。積怨。積願。積累（噄 ）。積攢。 數學上指乘法運算的得數：積數。乘積。體積。容積。 中醫指兒童消化不良的病：這孩子有積。捏積。 筆畫數：；

專業解析

“跨積”是一個在現代漢語日常使用中較為罕見的詞彙，它主要出現在特定的專業領域，尤其是數學（線性代數）語境中，指代一種向量或矩陣的運算。以下是從漢語詞典角度并結合其實際應用對其詳細含義的解釋：

1. 基本釋義：

   • “跨”： 本義為擡起一條腿邁過、越過。引申為超越一定界限、範圍或時間，或指兩腿分在物體兩邊坐着或立着。在“跨積”一詞中，“跨”取其“跨越”、“橫跨”或“涉及兩邊”的意象。
   • “積”： 本義為聚集、累積。在數學中，“積”常指乘法運算的結果（乘積）。在“跨積”中，“積”明确指向一種特定的乘法運算結果。
   • “跨積”合義： 從字面組合理解，可以解釋為一種“跨越性的乘積”或“涉及兩個不同向量（或矩陣）維度進行特定組合運算後得到的結果”。它強調運算跨越了原始向量的方向或維度。

2. 數學領域的專業定義（核心含義）： 在數學，特别是線性代數中，“跨積”最常被視為向量積（Vector Product） 或叉積（Cross Product） 的同義詞或特定稱呼，尤其是在三維空間中。

   • 定義： 對于兩個在三維空間中的向量a = (a₁, a₂, a₃) 和b = (b₁, b₂, b₃)，它們的跨積（叉積）是一個新的向量c =a ×b。這個新向量c 的方向垂直于由a 和b 所構成的平面，其方向遵循右手定則（或所選坐标系的規定），其模長（大小）等于以a 和b 為鄰邊的平行四邊形的面積。
   • 計算公式： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)mathbf{k} $$ 其中i,j,k 分别是沿 x, y, z 軸的單位向量。
   • 關鍵特性：
     • 結果是一個向量（這與點積/内積産生标量不同）。
     • 具有反交換律：a ×b = - (b ×a)。
     • 模長 |a ×b| = |a| |b| sinθ (θ 為兩向量夾角)。
     • 結果向量c 垂直于原始向量a 和b 所在的平面。
   • 來源參考： 該定義和計算方法是線性代數中的标準内容。可參考權威數學教材，如高等教育出版社出版的《線性代數》（同濟大學數學系編），或專業的數學百科全書如《數學百科全書》。

3. 與外積（Outer Product）的關系： 有時，“跨積”也可能在更廣泛的語境下被用來指代外積（Outer Product）。外積是兩個向量（不限于三維）進行運算得到一個矩陣的操作。

   • 定義： 對于向量u (m維) 和v (n維)，它們的外積u ⊗v 是一個 m×n 矩陣，其中每個元素 (i, j) 的值為 uᵢ * vⱼ。
   • 與叉積的區别： 叉積（即通常說的跨積）是三維向量空間特有的、結果仍為向量的運算；外積適用于任意維度的向量，結果是矩陣。兩者是不同的運算。當“跨積”指外積時，需根據上下文判斷。
   • 來源參考： 外積的概念同樣屬于線性代數核心内容，可見于上述《線性代數》教材或數值計算相關的專著。

4. 應用領域： “跨積”（主要指叉積）在物理學和工程學中有廣泛應用：

   • 物理學： 計算力矩（τ =r ×F）、洛倫茲力（F = q(v ×B)）、角動量（L =r ×p）等物理量，這些量都具有方向性，且方向由叉積的右手定則确定。
   • 計算機圖形學： 計算物體表面的法線向量（垂直于表面的向量），用于光照計算、碰撞檢測等。
   • 空間幾何： 判斷兩個向量的垂直關系，計算平面或三角形的面積（叉積模長的一半即為三角形面積）。
   • 來源參考： 物理學應用可參考《大學物理學》類教材（如張三慧編著）；計算機圖形學應用可參考經典教材如《Computer Graphics: Principles and Practice》。

“跨積”一詞在現代漢語中并非通用高頻詞彙，其核心含義指向數學中的向量積（叉積），即兩個三維向量運算生成一個垂直于它們的新向量。有時也可能指外積（生成矩陣）。理解其具體含義需依賴專業數學背景和具體語境。它主要應用于需要描述方向性相互作用的科學和工程領域，如物理學的力矩計算和計算機圖形學的法線生成。

網絡擴展解釋

“跨積”是一個較為少見的詞彙，其含義在不同語境下存在差異。主要可從以下兩方面理解：

1.古籍中的含義：經曆、跨曆

在《宋書·孝義傳·郭原平》等古代文獻中，“跨積”表示經曆時間或事件。例如：

“父抱篤疾彌年，原平衣不解帶，口不嘗鹽菜者，跨積寒暑。”
此處“跨積寒暑”指經曆多個寒暑（年複一年），強調時間上的延續性。

2.現代解釋：超越限度

部分現代詞典（如查字典）将其解釋為成語，由“跨”（超越）和“積”（積累）組成，含義為超出限度或界限，形容事物超過一定範圍。

補充說明

• 詞源争議：古籍中的用法更常見，而現代将其視為“超越界限”的解釋可能源于對字面意義的拆分，需結合具體語境判斷。
• 使用頻率：該詞在現代漢語中極少使用，常見于古文或學術讨論。

建議在閱讀古文時優先采納“經曆、跨曆”的含義，現代語境下需謹慎确認具體定義。

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