跨积的意思、跨积的详细解释

跨积的解释

跨历，经历。《宋书·孝义传·郭原平》：“父抱篤疾弥年， 原平 衣不解带，口不尝盐菜者，跨积寒暑。”

词语分解

• 跨的解释 跨 à 抬腿向前或向旁移动越过，迈过：跨进。跨入。跨度。 骑，两脚分在器物的两边坐着或立着：跨马。小孩跨着门槛。 超过时间或地区之间的界限：跨越。跨年度。跨国公司。 附在旁边：跨院。 古同“胯”。
• 积的解释 积 （積） ī 聚集：积少成多。处心积虑。积储。积愤。积郁。积怨。积愿。积累（噄 ）。积攒。 数学上指乘法运算的得数：积数。乘积。体积。容积。 中医指儿童消化不良的病：这孩子有积。捏积。 笔画数：；

专业解析

“跨积”是一个在现代汉语日常使用中较为罕见的词汇，它主要出现在特定的专业领域，尤其是数学（线性代数）语境中，指代一种向量或矩阵的运算。以下是从汉语词典角度并结合其实际应用对其详细含义的解释：

1. 基本释义：

   • “跨”： 本义为抬起一条腿迈过、越过。引申为超越一定界限、范围或时间，或指两腿分在物体两边坐着或立着。在“跨积”一词中，“跨”取其“跨越”、“横跨”或“涉及两边”的意象。
   • “积”： 本义为聚集、累积。在数学中，“积”常指乘法运算的结果（乘积）。在“跨积”中，“积”明确指向一种特定的乘法运算结果。
   • “跨积”合义： 从字面组合理解，可以解释为一种“跨越性的乘积”或“涉及两个不同向量（或矩阵）维度进行特定组合运算后得到的结果”。它强调运算跨越了原始向量的方向或维度。

2. 数学领域的专业定义（核心含义）： 在数学，特别是线性代数中，“跨积”最常被视为向量积（Vector Product） 或叉积（Cross Product） 的同义词或特定称呼，尤其是在三维空间中。

   • 定义： 对于两个在三维空间中的向量a = (a₁, a₂, a₃) 和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的跨积（叉积）是一个新的向量c =a ×b。这个新向量c 的方向垂直于由a 和b 所构成的平面，其方向遵循右手定则（或所选坐标系的规定），其模长（大小）等于以a 和b 为邻边的平行四边形的面积。
   • 计算公式： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)mathbf{k} $$ 其中i,j,k 分别是沿 x, y, z 轴的单位向量。
   • 关键特性：
     • 结果是一个向量（这与点积/内积产生标量不同）。
     • 具有反交换律：a ×b = - (b ×a)。
     • 模长 |a ×b| = |a| |b| sinθ (θ 为两向量夹角)。
     • 结果向量c 垂直于原始向量a 和b 所在的平面。
   • 来源参考： 该定义和计算方法是线性代数中的标准内容。可参考权威数学教材，如高等教育出版社出版的《线性代数》（同济大学数学系编），或专业的数学百科全书如《数学百科全书》。

3. 与外积（Outer Product）的关系： 有时，“跨积”也可能在更广泛的语境下被用来指代外积（Outer Product）。外积是两个向量（不限于三维）进行运算得到一个矩阵的操作。

   • 定义： 对于向量u (m维) 和v (n维)，它们的外积u ⊗v 是一个 m×n 矩阵，其中每个元素 (i, j) 的值为 uᵢ * vⱼ。
   • 与叉积的区别： 叉积（即通常说的跨积）是三维向量空间特有的、结果仍为向量的运算；外积适用于任意维度的向量，结果是矩阵。两者是不同的运算。当“跨积”指外积时，需根据上下文判断。
   • 来源参考： 外积的概念同样属于线性代数核心内容，可见于上述《线性代数》教材或数值计算相关的专著。

4. 应用领域： “跨积”（主要指叉积）在物理学和工程学中有广泛应用：

   • 物理学： 计算力矩（τ =r ×F）、洛伦兹力（F = q(v ×B)）、角动量（L =r ×p）等物理量，这些量都具有方向性，且方向由叉积的右手定则确定。
   • 计算机图形学： 计算物体表面的法线向量（垂直于表面的向量），用于光照计算、碰撞检测等。
   • 空间几何： 判断两个向量的垂直关系，计算平面或三角形的面积（叉积模长的一半即为三角形面积）。
   • 来源参考： 物理学应用可参考《大学物理学》类教材（如张三慧编著）；计算机图形学应用可参考经典教材如《Computer Graphics: Principles and Practice》。

“跨积”一词在现代汉语中并非通用高频词汇，其核心含义指向数学中的向量积（叉积），即两个三维向量运算生成一个垂直于它们的新向量。有时也可能指外积（生成矩阵）。理解其具体含义需依赖专业数学背景和具体语境。它主要应用于需要描述方向性相互作用的科学和工程领域，如物理学的力矩计算和计算机图形学的法线生成。

网络扩展解释

“跨积”是一个较为少见的词汇，其含义在不同语境下存在差异。主要可从以下两方面理解：

1.古籍中的含义：经历、跨历

在《宋书·孝义传·郭原平》等古代文献中，“跨积”表示经历时间或事件。例如：

“父抱篤疾弥年，原平衣不解带，口不尝盐菜者，跨积寒暑。”
此处“跨积寒暑”指经历多个寒暑（年复一年），强调时间上的延续性。

2.现代解释：超越限度

部分现代词典（如查字典）将其解释为成语，由“跨”（超越）和“积”（积累）组成，含义为超出限度或界限，形容事物超过一定范围。

补充说明

• 词源争议：古籍中的用法更常见，而现代将其视为“超越界限”的解释可能源于对字面意义的拆分，需结合具体语境判断。
• 使用频率：该词在现代汉语中极少使用，常见于古文或学术讨论。

建议在阅读古文时优先采纳“经历、跨历”的含义，现代语境下需谨慎确认具体定义。

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