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數量積的解釋

又稱“内積”、“點積”，物理學上稱為“标量積”。兩向量a與b的數量積是數量｜a｜·｜b｜cosθ，記作a·b；其中｜a｜、｜b｜是兩向量的模，θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π)。

詞語分解

• 數的解釋 數 （數） ù 表示、劃分或計算出來的量：數目。數量。數詞。數論（數學的一支，主要研究正整數的性質以及和它有關的規律）。數控。 幾，幾個：數人。數日。 技藝，學術：“今夫弈之為數，小數也”。 命運，天

網絡擴展解釋

數量積（又稱點積或内積）是向量運算中的一種基本操作，其運算結果為标量（即一個數）。以下是詳細解釋：

1.定義與公式

數量積定義為兩個向量的模長與它們夾角餘弦值的乘積。數學表達式為： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| cdot |mathbf{b}| cdot costheta $$ 其中，$mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是向量，$theta$ 是它們之間的夾角。

2.坐标形式

若向量在直角坐标系中表示為 $mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，則數量積可計算為對應分量的乘積之和： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $$

3.幾何意義

• 投影關系：$mathbf{a} cdot mathbf{b}$ 表示 $mathbf{a}$ 在 $mathbf{b}$ 方向上的投影長度乘以 $|mathbf{b}|$（或反之）。
• 垂直判定：若 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$，則兩向量垂直（正交）。

4.運算性質

• 交換律：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$
• 分配律：$mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c}$
• 結合标量乘法：$(kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$

5.應用場景

• 物理學：計算功（力與位移的點積）。
• 計算機圖形學：計算光照效果、判斷物體朝向。
• 幾何分析：求向量夾角（$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}||mathbf{b}|}$）。

示例

若 $mathbf{a} = (1, 2)$ 和 $mathbf{b} = (3, 4)$，則： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = (1)(3) + (2)(4) = 3 + 8 = 11 $$

網絡擴展解釋二

數量積

數量積是數學概念中的一個術語，用于描述向量之間的乘積運算。數量積也被稱為點積或内積。在代數表示中，用符號“·”表示數量積。

拆分部首和筆畫

拆分數量積的部首可以分為兩部分：“⺡”和“⺼”。其中，“⺡”是表示“數量”的部首，而“⺼”是表示“肉”的部首。經拆分後，數量積的總筆畫為14畫。

來源

數量積這個詞來源于數學領域，其中的“數量”指的是向量的數值部分，“積”表示乘法運算。數量積是通過将兩個向量的對應分量相乘，然後将乘積相加得到的一個标量值。

繁體

繁體字“數量積”與簡體字表示完全相同，隻是書寫形式略有不同。

古時候漢字寫法

在古代，數量積的漢字寫法并不完全一緻。然而，其含義和數學概念并無變化，僅僅是書寫方式有所差異。

例句

1. 在向量計算中，數量積是一個重要的運算方式。

2. 數量積可以用來計算向量的夾角以及向量的長度。

組詞、近義詞、反義詞

組詞：向量數量積、矢量數量積、點積運算等。

近義詞：内積、點積。

反義詞：向量積、叉積。

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