迪拉克δ函數英文解釋翻譯、迪拉克δ函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Dirac delta function

分詞翻譯：

拉的英語翻譯：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【機】 pull; tension; tractive

克的英語翻譯：

gram; gramme; overcome; restrain
【醫】 G.; Gm.; gram; gramme

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

狄拉克δ函數（Dirac delta function）是數學和物理學中廣泛應用的一種廣義函數（分布），其核心定義為滿足以下兩條件的奇異函數：

零值性：當$x eq 0$時，$delta(x) = 0$；
單位積分性：$int_{-infty}^{infty} delta(x) dx = 1$。

核心性質與作用

篩選性（Sifting Property）：對任意連續函數$f(x)$，有
$$int_{-infty}^{infty} f(x)delta(x-a) dx = f(a)$$

這一性質使其在信號處理、量子力學及微分方程求解中成為關鍵工具。

尺度縮放性：$delta(kx) = frac{1}{|k|}delta(x)$，其中$k$為非零常數。

應用領域

量子力學：用于描述粒子在空間中的點狀分布，例如波函數的概率密度表達。
工程學：模拟瞬時沖擊信號，如電路中的脈沖響應。
數學分析：作為格林函數的基礎，用于求解非齊次微分方程。

學術定義擴展

狄拉克δ函數在嚴格數學框架下屬于“分布”或“廣義函數”，需通過泛函分析理論定義其作用。其導數$delta'(x)$同樣具有物理意義，例如在電磁學中描述偶極子場。

參考來源：

保羅·狄拉克原著《量子力學原理》（The Principles of Quantum Mechanics）
美國數學學會（AMS）對廣義函數的定義
斯坦福大學工程數學講義（EE263）

網絡擴展解釋

狄拉克δ函數（Dirac Delta function）是數學和物理學中一種重要的廣義函數，具有獨特的定義和廣泛的應用。以下從定義、核心性質和應用領域三方面進行解釋：

一、定義

狄拉克δ函數并非傳統意義上的函數，而是一種廣義函數或分布。其定義包含兩個關鍵條件：

非零點的取值：除原點（x=0）外，δ(x)在所有實數點取值為零，即
$$δ(x) = 0 quad (x eq 0)$$
積分歸一性：在整個實數域上的積分等于1，即
$$int_{-infty}^{+infty} δ(x) , dx = 1$$
直觀上，它可視為一個“無限高、無限窄”的脈沖，但總面積為1。

二、核心性質

篩選性質（采樣性質）
對任意連續函數f(x)，有：
$$int_{-infty}^{+infty} δ(x-a)f(x) , dx = f(a)$$
這一性質使得δ函數能“篩選”出函數在特定點的值，例如在信號處理中提取瞬時信號。
縮放與平移
δ函數滿足縮放關系：
$$δ(kx) = frac{1}{|k|}δ(x) quad (k eq 0)$$
以及平移形式：
$$δ(x-a)$$
表示脈沖位于x=a處。

三、應用領域

物理學
- 量子力學：描述粒子在空間中的點狀分布，如電子位置的波函數密度。
- 經典力學：表示點電荷、質點等理想化模型的密度分布。
工程與數學
- 信號處理：模拟瞬時脈沖信號，用于系統響應分析。
- 微分方程：作為格林函數中的點源，求解線性系統的響應。

補充說明

狄拉克δ函數嚴格需通過分布理論或泛函分析理解，其物理意義常通過極限過程（如矩形脈沖逐漸變窄）直觀體現。若需更深入的數學推導或應用案例，可參考量子力學教材或廣義函數相關文獻。