狄利克雷的英文解釋翻譯、狄利克雷的的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯:
【計】 Dirichlet
分詞翻譯:
利的英語翻譯:
benefit; favourable; profit; sharp
克的英語翻譯:
gram; gramme; overcome; restrain
【醫】 G.; Gm.; gram; gramme
雷的英語翻譯:
mine; thunder
【電】 thunder
專業解析
狄利克雷(Dirichlet)是一位在數學領域具有深遠影響的德國數學家,其名字主要與以下幾個重要概念相關聯:
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狄利克雷(人物):
- 全名:彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)。
- 生平:1805年2月13日出生于杜倫(現德國杜倫),1859年5月5日逝世于哥廷根。
- 領域:主要貢獻在數論(特别是解析數論)、數學分析和數學物理領域。
- 成就:他是解析數論的創始人之一,在傅裡葉級數收斂性、位勢理論等方面有奠基性工作。他接替高斯成為哥廷根大學教授。
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狄利克雷定理(Dirichlet's Theorem):
- 含義:這是數論中的一個核心定理。它指出:對于任意兩個互質的正整數 (a) 和 (d)(即 (gcd(a, d) = 1)),存在無窮多個素數 (p) 滿足 (p equiv a pmod{d})。簡單來說,在任何一個首項為 (a)、公差為 (d)(且 (a) 與 (d) 互質)的等差數列中,都包含無窮多個素數。
- 意義:該定理揭示了素數在算術級數中的分布規律,是解析數論的裡程碑。
- 引用:定理的嚴格表述和證明可參考數論經典教材,如 Apostol, T. M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. (Chapter 7)。
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狄利克雷條件(Dirichlet Conditions):
- 含義:這是一組關于函數 (f(x)) 在區間 ([-L, L]) 上的充分條件,用于保證其傅裡葉級數收斂到函數本身(在連續點)或左右極限的平均值(在間斷點)。條件通常包括:
- 函數在區間上絕對可積((int_{-L}^{L} |f(x)| , dx < infty))。
- 函數在區間内有有限個極大值和極小值(即有限個極值點)。
- 函數在區間内有有限個第一類間斷點(即在該點左極限和右極限均存在且有限)。
- 意義:這些條件為傅裡葉級數的收斂性提供了實用且相對寬泛的判據。
- 引用:條件的标準表述見數學分析教材,如 Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. (Chapter 8) 或 Fourier 分析專著。
-
狄利克雷函數(Dirichlet Function):
- 定義:
$$
D(x) = begin{cases}
1 & text{if } x in mathbb{Q}
0 & text{if } x in mathbb{R} setminus mathbb{Q}
end{cases}
$$
即當 (x) 為有理數時函數值為 1,當 (x) 為無理數時函數值為 0。
- 特性:該函數在實數軸上的每一點都不連續,是黎曼不可積的(但在勒貝格積分意義下可積,且積分為 0)。它常作為分析學中的反例,說明連續性、可積性等概念。
- 引用:函數定義和性質見實分析教材,如 Royden, H. L., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real Analysis (4th ed.). Prentice Hall.
-
狄利克雷分布(Dirichlet Distribution):
- 含義:在概率論和統計學中,狄利克雷分布是定義在 ((k-1)) 維單純形上的一個連續多元概率分布。它是貝塔分布在高維空間的推廣。
- 概率密度函數:對于參數 (boldsymbol{alpha} = (alpha_1, dots, alpha_k), alpha_i > 0),定義在 (boldsymbol{x} = (x_1, dots, x_k))(滿足 (xi > 0) 且 (sum{i=1}^{k} xi = 1))上的密度函數為:
$$
f(boldsymbol{x}; boldsymbol{alpha}) = frac{1}{B(boldsymbol{alpha})} prod{i=1}^{k} x_i^{alphai - 1}
$$
其中 (B(boldsymbol{alpha})) 是多變量貝塔函數:
$$
B(boldsymbol{alpha}) = frac{prod{i=1}^{k} Gamma(alphai)}{Gamma(sum{i=1}^{k} alpha_i)}
$$
- 應用:狄利克雷分布是多項分布的共轭先驗分布,在貝葉斯統計、自然語言處理(如主題模型中的LDA)等領域有廣泛應用。
- 引用:分布的定義和性質見概率論或統計學習教材,如 Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. (Chapter 2) 或 Gelman, A., et al. (2013). Bayesian Data Analysis (3rd ed.). CRC Press. (Chapter 3)。
“狄利克雷”一詞在數學語境下,主要指德國數學家彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷本人及其在數論(狄利克雷定理)、分析學(狄利克雷條件、狄利克雷函數)和概率統計(狄利克雷分布)等領域做出的傑出貢獻和以其名字命名的關鍵概念。這些概念是現代數學和相關應用學科(如信號處理、機器學習)的重要基礎。
網絡擴展解釋
狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805–1859)是19世紀德國著名數學家,對數論、數學分析和數學物理等領域有深遠影響。以下是關于他的詳細解釋:
一、生平背景
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早年經曆
狄利克雷出生于迪倫(現屬德國),少年時期便展現出數學天賦,12歲開始自購數學書籍研讀,尤其癡迷高斯的《算術研究》。盡管因拉丁語成績差未獲得中學文憑,他仍堅持數學道路,并在巴黎求學期間結識傅裡葉等學者。
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學術生涯
他先後在柏林大學、哥廷根大學任教,1855年接替高斯成為哥廷根大學教授。他不僅是傑出的研究者,還緻力于數學教育,培養了大批人才,推動了德國數學的崛起。
二、主要貢獻
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數論領域
- 作為解析數論的奠基人,他推廣了高斯的思想,提出二次型類數公式,并撰寫《數論講義》系統闡述相關理論。
- 提出著名的狄利克雷定理,證明等差數列中素數無限存在。
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函數與分析的革新
- 1837年提出函數的現代定義,強調變量間的對應關系,為分析學嚴格化奠定基礎。
- 研究傅裡葉級數收斂性,推動其在物理中的應用。
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狄利克雷函數
該函數定義為:
$$
D(x) = begin{cases}
1 & x text{ 為有理數}
0 & x text{ 為無理數}
end{cases}
$$
性質:處處不連續、不可積(黎曼積分下)、偶函數且周期為任意有理數。
三、影響與遺産
- 教學與傳承:他注重教學,學生包括黎曼等大家,提升了德國數學教育水平。
- 跨領域貢獻:在數學物理中引入狄利克雷問題(偏微分方程),研究熱傳導和位勢理論。
四、總結
狄利克雷以嚴格的數學思維和跨領域研究聞名,其工作為現代數論、分析學及函數理論奠定了基礎。他定義的狄利克雷函數雖看似簡單,卻深刻揭示了連續性、可積性等核心概念,至今仍是數學分析中的經典案例。
分類
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