德摩根定律英文解釋翻譯、德摩根定律的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 De Morgan's theorem; DeMorgan's law

分詞翻譯：

德摩根的英語翻譯：

【計】 DeMorgan

定律的英語翻譯：

law
【化】 law
【醫】 law

專業解析

德摩根定律（De Morgan's Laws）是邏輯學和集合論中的基本法則，描述了邏輯運算（非、與、或）或集合運算（補、交、并）之間的等價轉換關系。其核心在于否定運算對合取（與）或析取（或）運算的分配規則。以下是該定律的詳細解釋：

一、邏輯形式（Propositional Logic Form）

德摩根定律在命題邏輯中有兩種主要形式：

否定合取的等價形式 (Negation of a Conjunction):
- 中文表述：兩個命題合取（P 且 Q）的否定，等價于這兩個命題的否定的析取（非P 或非Q）。
- 英文表述： The negation of a conjunction (P and Q) is equivalent to the disjunction of the negations (not P or not Q).
- 公式表示： $ eg (P land Q) equiv eg P lor eg Q$
- 示例： “并非（下雨且刮風）” 等價于 “不下雨或不刮風”。
否定析取的等價形式 (Negation of a Disjunction):
- 中文表述：兩個命題析取（P 或 Q）的否定，等價于這兩個命題的否定的合取（非P 且非Q）。
- 英文表述： The negation of a disjunction (P or Q) is equivalent to the conjunction of the negations (not P and not Q).
- 公式表示： $ eg (P lor Q) equiv eg P land eg Q$
- 示例： “并非（下雨或刮風）” 等價于 “不下雨且不刮風”。

二、集合論形式（Set Theory Form）

德摩根定律在集合論中同樣有對應的形式，描述了集合補運算對交運算和并運算的分配規則：

補集與交集的等價形式 (Complement of an Intersection):
- 中文表述：兩個集合交集（A ∩ B）的補集，等于這兩個集合的補集的并集（Aᶜ ∪ Bᶜ）。
- 英文表述： The complement of the intersection of two sets (A ∩ B) is equal to the union of their complements (Aᶜ ∪ Bᶜ).
- 公式表示： $(A cap B)^c = A^c cup B^c$
- 示例：不屬于集合A和B共同部分的元素，等價于要麼不屬于A，要麼不屬于B。
補集與并集的等價形式 (Complement of a Union):
- 中文表述：兩個集合并集（A ∪ B）的補集，等于這兩個集合的補集的交集（Aᶜ ∩ Bᶜ）。
- 英文表述： The complement of the union of two sets (A ∪ B) is equal to the intersection of their complements (Aᶜ ∩ Bᶜ).
- 公式表示： $(A cup B)^c = A^c cap B^c$
- 示例：不屬于集合A或B中任何一個的元素，等價于既不屬于A也不屬于B。

權威性參考來源

德摩根定律是數學和邏輯學的基礎定理，廣泛記載于經典教材和權威學術資源中：

邏輯學基礎：該定律是任何标準邏輯學教科書的核心内容，例如歐文·M·柯匹（Irving M. Copi）的《邏輯學導論》（Introduction to Logic）或帕特裡克·赫爾利（Patrick Hurley）的《簡明邏輯學導論》（A Concise Introduction to Logic）。
離散數學标準教材：在肯尼思·羅森（Kenneth H. Rosen）所著的廣泛使用的教材《離散數學及其應用》（Discrete Mathematics and Its Applications）中，德摩根定律在邏輯和集合論章節有詳細闡述。
集合論專著：如保羅·哈爾莫斯（Paul R. Halmos）的經典著作《樸素集合論》（Naive Set Theory）也明确包含了集合形式的德摩根定律。
線上數學百科：權威的數學參考網站如Wolfram MathWorld (例如詞條 De Morgan's Laws) 和Wikipedia (詞條 De Morgan's laws) 提供了詳盡的定義、公式、解釋和曆史背景（由奧古斯都·德·摩根提出）。
大學課程資源：許多頂尖大學（如麻省理工學院MIT OpenCourseWare、斯坦福大學、劍橋大學）在其公開的離散數學、計算機科學基礎或邏輯學課程資料中都會涵蓋并證明德摩根定律。

德摩根定律揭示了邏輯否定運算（或集合補運算）與合取/交集運算、析取/并集運算之間深刻的等價關系。無論是在形式邏輯推理、數學證明、電路設計（數字邏輯）還是計算機編程（布爾運算）中，這一定律都扮演着至關重要的角色，是理解和操作複雜邏輯或集合表達式的基礎工具。其精确的雙向等價形式使其成為邏輯和集合運算中進行有效轉換和簡化的關鍵法則。

網絡擴展解釋

德摩根定律（De Morgan's Laws）是邏輯學和集合論中的基本定律，由英國數學家奧古斯都·德摩根（Augustus De Morgan）在19世紀提出，主要用于描述邏輯運算符（非、與、或）和集合運算符（補集、交集、并集）之間的轉換關系。

定律的具體形式

1.邏輯表達式中的德摩根定律

在命題邏輯中，德摩根定律表現為：

否定合取：$ eg(A land B) equiv eg A lor eg B$
即“非(A且B)”等價于“非A或非B”。
否定析取：$ eg(A lor B) equiv eg A land eg B$
即“非(A或B)”等價于“非A且非B”。

例子：
若命題$A$表示“下雨”，$B$表示“刮風”，則$ eg(A land B)$表示“并非（下雨且刮風）”，根據定律可轉換為“不下雨或不下風”。

2.集合論中的德摩根定律

在集合運算中，定律描述了補集與交集、并集的關系：

補集的交集：$(A cap B)^complement = A^complement cup B^complement$
即集合$A$和$B$的交集的補集，等于$A$的補集和$B$的補集的并集。
補集的并集：$(A cup B)^complement = A^complement cap B^complement$
即集合$A$和$B$的并集的補集，等于$A$的補集和$B$的補集的交集。

例子：
設全集為自然數，$A={1,2}$，$B={2,3}$，則$A cap B = {2}$，其補集為所有非2的自然數；而$A^complement cup B^complement$也包含所有非2的數，兩者等價。

定律的意義與應用

邏輯簡化：
在編程和電路設計中，德摩根定律可用于簡化條件表達式。例如，将!(A && B)優化為!A || !B，減少計算步驟。
集合運算轉換：
幫助将複雜的集合關系轉化為更易操作的形式，尤其在概率論和數據分析中。
數學證明基礎：
定律是布爾代數、數理邏輯和計算機科學中邏輯推導的基礎工具。

曆史背景

德摩根定律的提出推動了布爾代數和現代邏輯學的發展，尤其在二值邏輯系統中具有核心地位。奧古斯都·德摩根還以對數學歸納法的形式化研究聞名。

如果需要進一步了解定律的數學證明或實際案例，可結合具體場景深入探讨。