德摩根定律英文解释翻译、德摩根定律的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 De Morgan's theorem; DeMorgan's law

分词翻译：

德摩根的英语翻译：

【计】 DeMorgan

定律的英语翻译：

law
【化】 law
【医】 law

专业解析

德摩根定律（De Morgan's Laws）是逻辑学和集合论中的基本法则，描述了逻辑运算（非、与、或）或集合运算（补、交、并）之间的等价转换关系。其核心在于否定运算对合取（与）或析取（或）运算的分配规则。以下是该定律的详细解释：

一、逻辑形式（Propositional Logic Form）

德摩根定律在命题逻辑中有两种主要形式：

否定合取的等价形式 (Negation of a Conjunction):
- 中文表述：两个命题合取（P 且 Q）的否定，等价于这两个命题的否定的析取（非P 或非Q）。
- 英文表述： The negation of a conjunction (P and Q) is equivalent to the disjunction of the negations (not P or not Q).
- 公式表示： $ eg (P land Q) equiv eg P lor eg Q$
- 示例： “并非（下雨且刮风）” 等价于 “不下雨或不刮风”。
否定析取的等价形式 (Negation of a Disjunction):
- 中文表述：两个命题析取（P 或 Q）的否定，等价于这两个命题的否定的合取（非P 且非Q）。
- 英文表述： The negation of a disjunction (P or Q) is equivalent to the conjunction of the negations (not P and not Q).
- 公式表示： $ eg (P lor Q) equiv eg P land eg Q$
- 示例： “并非（下雨或刮风）” 等价于 “不下雨且不刮风”。

二、集合论形式（Set Theory Form）

德摩根定律在集合论中同样有对应的形式，描述了集合补运算对交运算和并运算的分配规则：

补集与交集的等价形式 (Complement of an Intersection):
- 中文表述：两个集合交集（A ∩ B）的补集，等于这两个集合的补集的并集（Aᶜ ∪ Bᶜ）。
- 英文表述： The complement of the intersection of two sets (A ∩ B) is equal to the union of their complements (Aᶜ ∪ Bᶜ).
- 公式表示： $(A cap B)^c = A^c cup B^c$
- 示例：不属于集合A和B共同部分的元素，等价于要么不属于A，要么不属于B。
补集与并集的等价形式 (Complement of a Union):
- 中文表述：两个集合并集（A ∪ B）的补集，等于这两个集合的补集的交集（Aᶜ ∩ Bᶜ）。
- 英文表述： The complement of the union of two sets (A ∪ B) is equal to the intersection of their complements (Aᶜ ∩ Bᶜ).
- 公式表示： $(A cup B)^c = A^c cap B^c$
- 示例：不属于集合A或B中任何一个的元素，等价于既不属于A也不属于B。

权威性参考来源

德摩根定律是数学和逻辑学的基础定理，广泛记载于经典教材和权威学术资源中：

逻辑学基础：该定律是任何标准逻辑学教科书的核心内容，例如欧文·M·柯匹（Irving M. Copi）的《逻辑学导论》（Introduction to Logic）或帕特里克·赫尔利（Patrick Hurley）的《简明逻辑学导论》（A Concise Introduction to Logic）。
离散数学标准教材：在肯尼思·罗森（Kenneth H. Rosen）所著的广泛使用的教材《离散数学及其应用》（Discrete Mathematics and Its Applications）中，德摩根定律在逻辑和集合论章节有详细阐述。
集合论专著：如保罗·哈尔莫斯（Paul R. Halmos）的经典著作《朴素集合论》（Naive Set Theory）也明确包含了集合形式的德摩根定律。
在线数学百科：权威的数学参考网站如Wolfram MathWorld (例如词条 De Morgan's Laws) 和Wikipedia (词条 De Morgan's laws) 提供了详尽的定义、公式、解释和历史背景（由奥古斯都·德·摩根提出）。
大学课程资源：许多顶尖大学（如麻省理工学院MIT OpenCourseWare、斯坦福大学、剑桥大学）在其公开的离散数学、计算机科学基础或逻辑学课程资料中都会涵盖并证明德摩根定律。

德摩根定律揭示了逻辑否定运算（或集合补运算）与合取/交集运算、析取/并集运算之间深刻的等价关系。无论是在形式逻辑推理、数学证明、电路设计（数字逻辑）还是计算机编程（布尔运算）中，这一定律都扮演着至关重要的角色，是理解和操作复杂逻辑或集合表达式的基础工具。其精确的双向等价形式使其成为逻辑和集合运算中进行有效转换和简化的关键法则。

网络扩展解释

德摩根定律（De Morgan's Laws）是逻辑学和集合论中的基本定律，由英国数学家奥古斯都·德摩根（Augustus De Morgan）在19世纪提出，主要用于描述逻辑运算符（非、与、或）和集合运算符（补集、交集、并集）之间的转换关系。

定律的具体形式

1.逻辑表达式中的德摩根定律

在命题逻辑中，德摩根定律表现为：

否定合取：$ eg(A land B) equiv eg A lor eg B$
即“非(A且B)”等价于“非A或非B”。
否定析取：$ eg(A lor B) equiv eg A land eg B$
即“非(A或B)”等价于“非A且非B”。

例子：
若命题$A$表示“下雨”，$B$表示“刮风”，则$ eg(A land B)$表示“并非（下雨且刮风）”，根据定律可转换为“不下雨或不下风”。

2.集合论中的德摩根定律

在集合运算中，定律描述了补集与交集、并集的关系：

补集的交集：$(A cap B)^complement = A^complement cup B^complement$
即集合$A$和$B$的交集的补集，等于$A$的补集和$B$的补集的并集。
补集的并集：$(A cup B)^complement = A^complement cap B^complement$
即集合$A$和$B$的并集的补集，等于$A$的补集和$B$的补集的交集。

例子：
设全集为自然数，$A={1,2}$，$B={2,3}$，则$A cap B = {2}$，其补集为所有非2的自然数；而$A^complement cup B^complement$也包含所有非2的数，两者等价。

定律的意义与应用

逻辑简化：
在编程和电路设计中，德摩根定律可用于简化条件表达式。例如，将!(A && B)优化为!A || !B，减少计算步骤。
集合运算转换：
帮助将复杂的集合关系转化为更易操作的形式，尤其在概率论和数据分析中。
数学证明基础：
定律是布尔代数、数理逻辑和计算机科学中逻辑推导的基础工具。

历史背景

德摩根定律的提出推动了布尔代数和现代逻辑学的发展，尤其在二值逻辑系统中具有核心地位。奥古斯都·德摩根还以对数学归纳法的形式化研究闻名。

如果需要进一步了解定律的数学证明或实际案例，可结合具体场景深入探讨。