英語翻譯：

【計】 iterated algorithm; iterative algorithm

分詞翻譯：

疊代的英語翻譯：

【計】 iterate; iteration

算法的英語翻譯：

algorithm; arithmetic
【計】 ALG; algorithm; D-algorithm; Roth's D-algorithm
【化】 algorithm
【經】 algorithm

專業解析

疊代算法（Iterative Algorithm）是一種通過重複執行一系列步驟來逐步逼近問題解決方案的計算方法。在漢英詞典視角下，其核心含義可解析如下：

一、術語定義

• 中文：疊代算法

  英文：Iterative Algorithm

  核心解釋：通過重複應用某個計算過程（疊代步驟），從初始估計值出發，逐步改進解的質量，直至滿足預設精度或收斂條件。與一次性求解的“直接法”相對，疊代法適用于大規模、非線性或無法顯式求解的問題。

二、算法特征

1. 重複性（Repetition）

   疊代的核心是重複執行固定計算步驟，每次疊代基于前次結果生成新解。數學表達為：

   $$ x_{k+1} = f(x_k), quad k=0,1,2,ldots $$

   其中 ( x_k ) 是第 ( k ) 次疊代的解，( f ) 為疊代函數。

2. 收斂性（Convergence）

   理想情況下，疊代結果應趨近于精确解。收斂條件通常表示為：

   $$ lim_{k to infty} | x_k - x^ | = 0 $$

   ( x^ ) 為真實解，需通過理論證明或數值實驗驗證收斂性。

3. 終止條件（Termination Criteria）

   實際應用中通過阈值控制疊代停止，常見條件包括：

   • 解的變化量小于容差：( | x_{k+1} - x_k | < epsilon )
   • 殘差足夠小：( | f(x_k) | < delta )
   • 達到最大疊代次數 ( k_{text{max}} ).

三、典型應用場景

• 數值求解方程：如牛頓疊代法解非線性方程 ( g(x)=0 )（來源：數值分析教材，如《Numerical Recipes》）。
• 優化問題：梯度下降法求解機器學習損失函數最小值（來源：IEEE 期刊文獻，如《IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence》）。
• 線性方程組：雅可比疊代法求解 ( Amathbf{x}=mathbf{b} )（來源：科學計算手冊，如《Matrix Computations》）。

四、與遞歸算法的區别

疊代通過循環結構實現重複計算，顯式跟蹤狀态變化；遞歸則通過函數自我調用隱式管理狀态，依賴調用棧。疊代通常更節省内存，適用于深度較大的計算（來源：算法經典著作，如《Introduction to Algorithms》）。

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權威參考來源（符合原則）：

1. 學術教材：如《Numerical Analysis》（Burden & Faires）第2章疊代法部分。
2. 國際标準：IEEE Xplore 數據庫中關于疊代優化的研究論文。
3. 專業手冊：NIST（美國國家标準與技術研究院）《數學函數數字類庫》疊代算法實現指南。
4. 行業實踐：ACM（國際計算機學會）算法文庫對疊代模型的案例分析。

網絡擴展解釋

疊代算法是一種通過重複執行特定步驟來逐步逼近問題解的計算方法。其核心思想是将複雜問題分解為一系列可重複的簡單操作，通過不斷更新變量的值最終達到預期結果。以下是詳細解析：

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一、基本工作原理

1. 初始化：設定初始值（如$x_0$）和終止條件（如精度阈值$epsilon$）
2. 疊代過程：在循環中按公式更新變量，例如$x_{n+1} = f(x_n)$
3. 收斂判斷：當滿足$|x_{n+1}-x_n| < epsilon$時停止計算

數學表達式示例： $$ x_{k+1} = x_k - frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $$ （牛頓疊代法公式）

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二、主要特點

• 重複性：通過循環結構實現多次計算
• 逼近性：結果逐步接近真實解
• 可控性：可設置最大疊代次數防止無限循環
• 内存效率：通常比遞歸算法更節省内存

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三、典型應用場景

1. 數值計算：解方程、矩陣運算（如Jacobi疊代）
2. 優化問題：梯度下降法訓練機器學習模型
3. 圖形處理：分形生成、圖像疊代濾波
4. 工程仿真：有限元分析中的應力疊代計算

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四、與遞歸算法的對比

特性	疊代算法	遞歸算法
實現方式	顯式循環結構	函數自調用
内存占用	通常較低（無棧開銷）	較高（需維護調用棧）
可讀性	直觀但可能冗長	簡潔但需要理解遞歸邏輯
適用問題	線性過程、明确疊代公式的問題	分治結構、樹狀問題

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五、注意事項

• 收斂性分析：需确保疊代公式收斂（如通過李雅普諾夫穩定性分析）
• 步長選擇：過大會導緻震蕩，過小會降低效率
• 初始值敏感：某些算法（如K-means聚類）對初始值選擇敏感

例如在機器學習中，隨機梯度下降法通過疊代更新參數$theta$： $$ theta_{t+1} = theta_t - eta abla_theta J(theta_t) $$ 其中$eta$為學習率，$J$為損失函數。

分類

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

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