英語翻譯：

【計】 poisson equation
【化】 Poisson's equation

分詞翻譯：

泊松的英語翻譯：

【計】 poisson

方程的英語翻譯：

equation

專業解析

泊松方程（Poisson's Equation）是數學物理領域中的一類二階偏微分方程，其标準形式為：

$$

abla phi = f

$$

其中$ abla$為拉普拉斯算子，$phi$為标量勢函數，$f$為已知的源項函數。該方程由法國數學家西莫恩·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson）于1813年提出，主要用于描述勢場分布與場源之間的關系。

漢英詞典釋義

• 中文術語：泊松方程
• 英文對應：Poisson's Equation（音标：/pwɑːˈsoʊnz ɪˈkweɪʒən/）
• 核心定義：描述标量勢場在存在源項時的空間分布規律的偏微分方程。

物理與工程應用

1. 電磁學：計算電荷分布産生的電勢，例如靜電場中電勢滿足$ abla V = -rho/epsilon_0$，其中$rho$為電荷密度（來源：麻省理工學院電磁學公開課程）。
2. 流體力學：用于不可壓縮流體的速度勢分析（參考《流體力學基礎》，清華大學出版社）。
3. 引力場：牛頓引力理論中，引力勢與質量密度通過泊松方程關聯，形式為$ abla Phi = 4pi Grho$（來源：NASA天體物理數據庫）。

數學特性

方程的解依賴于邊界條件，常見解法包括分離變量法、格林函數法和有限元法。其齊次形式（$f=0$）退化為拉普拉斯方程，對應無源場情形。

網絡擴展解釋

泊松方程是數學物理中的一個重要偏微分方程，用于描述标量勢場在存在源（如電荷、質量等）時的分布規律。以下是詳細解釋：

1. 數學形式 泊松方程的标準形式為： $$

abla phi = f $$ 其中：

• $ abla$ 是拉普拉斯算子（三維坐标系中為 $frac{partial}{partial x} + frac{partial}{partial y} + frac{partial}{partial z}$）
• $phi$ 表示标量勢函數（如電勢、引力勢）
• $f$ 是與場源相關的函數（如電荷密度、質量密度）

2. 與拉普拉斯方程的關系 當方程右端項 $f=0$ 時，泊松方程退化為拉普拉斯方程 $ abla phi = 0$。因此泊松方程可視為拉普拉斯方程在存在場源時的推廣形式。

3. 物理意義 該方程揭示了勢場分布與場源之間的定量關系：

• 電勢場中：$ abla phi = -rho/epsilon_0$（$rho$為電荷密度）
• 引力場中：$ abla phi = 4pi Grho$（$rho$為質量密度）
• 熱傳導中：$ abla T = -q/k$（$q$為熱源強度）

4. 求解方法 常見解法包括：

• 解析解：格林函數法、鏡像法、分離變量法
• 數值解：有限差分法、有限元法、邊界元法 解的存在唯一性需結合邊界條件（如狄利克雷邊界條件或諾依曼邊界條件）。

5. 應用領域

• 電磁學：計算靜電場/磁場分布
• 天體物理：研究引力勢能分布
• 流體力學：描述不可壓縮流體的壓力場
• 圖像處理：用于圖像修複和去噪
• 地球物理：反演地下密度異常體

該方程由法國數學家泊松（Siméon Denis Poisson）于1813年首次提出，現已成為場論研究的基礎工具之一。其解的性質（如極值原理）對理解物理系統的穩定性有重要意義。

分類

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