
【計】 markov network
equine; gee; horse; horseflesh; neddy; steed
【醫】 hippo-
like so; you
approve; but; can; may; need; yet
goodman; husband; sister-in-law
meshwork; network
【計】 ILLIAC network ILLIAC; internetwork; NET; network
【化】 mesh; network
【經】 network
馬爾可夫網絡(Markov Network),也稱為馬爾可夫隨機場(Markov Random Field, MRF),是一種基于無向圖模型的概率圖模型。它用于表示一組隨機變量之間的複雜概率依賴關系,特别適合描述具有局部相互作用(如空間或上下文關聯性)的系統。以下是其詳細解釋:
模型本質
馬爾可夫網絡通過無向圖(Undirected Graph)表示隨機變量的聯合概率分布。圖中節點(Nodes)代表隨機變量,邊(Edges)表示變量間的依賴關系。其聯合概率分布可表示為:
$$ P(mathbf{X}) = frac{1}{Z} prod_{c in C} phi_c(mathbf{X}_c) $$
其中 $phi_c$ 是定義在團(Clique)$c$ 上的勢函數(Potential Function),$Z$ 為歸一化常數(配分函數)。
馬爾可夫性質
若圖中節點 $A$ 和 $B$ 被觀測節點集 $C$ 分隔,則 $A$ 與 $B$ 條件獨立($A perp B mid C$)。這一性質簡化了概率推斷的計算複雜度。
無向性依賴
與貝葉斯網絡(有向圖)不同,馬爾可夫網絡的邊無方向性,更適用于對稱關系建模(如圖像像素、物理系統相互作用)。
勢函數與能量模型
勢函數 $phi_c(mathbf{X}_c)$ 通常以對數線性形式表示:
$$ phi_c(mathbf{X}_c) = exp left( -sum_k w_k f_k(mathbf{X}_c) right) $$
其中 $f_k$ 為特征函數,$w_k$ 為權重,常用于統計關系學習。
應用場景
斯坦福大學課程資料
Koller & Friedman, Probabilistic Graphical Models (Stanford CS228)
鍊接:web.stanford.edu/~jurafsky/slp3/(第18章)
經典教材
Daphne Koller & Nir Friedman, Probabilistic Graphical Models: Principles and Techniques (MIT Press)
學術綜述
Markov Random Fields in Image Segmentation (IEEE TPAMI Journal)
模型 | 圖類型 | 依賴方向 | 典型應用 |
---|---|---|---|
馬爾可夫網絡 | 無向圖 | 對稱 | 空間數據建模 |
貝葉斯網絡 | 有向圖 | 因果 | 醫療診斷、風險評估 |
條件隨機場 (CRF) | 無向圖 | 條件輸出 | 序列标注、語音識别 |
馬爾可夫網絡通過捕捉變量間的局部相關性,為高維概率分布提供高效表示,是機器學習與統計物理交叉領域的核心工具之一。
馬爾可夫網絡(Markov Network),也稱為馬爾可夫隨機場(Markov Random Field, MRF),是一種用于建模隨機變量之間依賴關系的概率圖模型。它通過無向圖的結構表示變量間的關聯性,適用于描述具有局部相互作用或對稱關系的系統。以下是詳細解釋:
馬爾可夫網絡通過勢函數的乘積定義聯合概率分布: $$ P(X) = frac{1}{Z} prod_{c in mathcal{C}} phi_c(X_c) $$
特性 | 馬爾可夫網絡 | 貝葉斯網絡 |
---|---|---|
圖結構 | 無向圖 | 有向無環圖(DAG) |
依賴關系 | 對稱關聯(如相關性) | 有向因果關系 |
建模場景 | 圖像處理、空間數據、物理系統 | 因果推理、時序模型 |
假設一個社交網絡中用戶的購物行為受朋友影響,可用馬爾可夫網絡建模:每個用戶為節點,邊表示好友關系,勢函數可定義為“好友同時購買某商品的概率較高”。
馬爾可夫網絡的優勢在于靈活建模對稱關系,但計算複雜度高(尤其配分函數( Z )難以求解)。實際中常結合近似算法或限制圖結構(如成對馬爾可夫網絡)來簡化計算。
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