并向量矩陣英文解釋翻譯、并向量矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 dyadic matrices

分詞翻譯：

并的英語翻譯：

combine; equally

向量的英語翻譯：

vector
【計】 V; vector quantity
【醫】 vector; vector quantity

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

并向量矩陣（Dyadic Matrix）是線性代數中的基礎概念，指由兩個向量的外積運算生成的秩為1的特殊矩陣。其數學定義為：若存在列向量$mathbf{u} in mathbb{R}^m$和$mathbf{v} in mathbb{R}^n$，則并向量矩陣可表示為：

$$ mathbf{A} = mathbf{u} mathbf{v}^top $$

該矩陣具有以下核心特性：

1. 秩為1性：矩陣的所有行成比例，列空間由$mathbf{u}$張成，行空間由$mathbf{v}$張成
2. 運算分解：在量子力學中常用于描述張量積态，在信號處理中用于協方差矩陣分解
3. 特殊性質：特征值為$mathbf{v}^top mathbf{u}$（當$mathbf{u},mathbf{v}$非零且正交時特征值為0），迹等于$mathbf{u}^top mathbf{v}$

工程應用中，并向量矩陣廣泛存在于：

• 電磁場分析中的偶極子建模（參考：IEEE Transactions on Antennas and Propagation）
• 機器學習PCA降維的數據協方差表示（來源：MIT線性代數公開課講義）
• 量子力學中的量子态糾纏描述（文獻：Dirac《量子力學原理》）

該概念與克羅内克積的主要區别在于：并向量積生成的是矩陣，而克羅内克積生成的是高階張量。在控制系統分析中，并向量矩陣常用于表示線性變換的基元形式（來源：Springer《矩陣分析及應用》）。

網絡擴展解釋

根據您的問題“并向量矩陣”，結合相關數學定義，以下是詳細解釋：

一、向量（Vector）

向量是隻有一列或一行的矩陣，本質上是一維數組：

1. 行向量：水平排列，如$mathbf{v} = [v_1, v_2, ldots, v_n]$（）。
2. 列向量：垂直排列，如$mathbf{v} = begin{bmatrix} v_1v_2vdotsv_n end{bmatrix}$（）。

在機器學習中，向量常用于表示特征或權重（）。

二、矩陣（Matrix）

矩陣是二維數組，由行和列組成，例如： $$begin{bmatrix} 1 & 2 & 34 & 5 & 6 end{bmatrix}$$

• 表示方法：$A_{ij}$表示第$i$行、第$j$列的元素（）。
• 應用：廣泛用于線性代數、統計分析等領域（）。

三、關于“并向量矩陣”

“并向量矩陣”并非标準術語，但可能指以下兩種情況：

1. 多個向量組成的矩陣
   将多個列向量并排排列，形成矩陣。例如，兩個列向量$mathbf{u}$和$mathbf{v}$可組合為： $$begin{bmatrix} mathbf{u} & mathbf{v} end{bmatrix}$$

2. 向量外積生成的矩陣
   兩個向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的外積（并矢積）生成矩陣： $$mathbf{a} otimes mathbf{b} = begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & dotsa_2b_1 & a_2b_2 & dotsvdots & vdots & ddots end{bmatrix}$$ 這種矩陣在物理學中用于描述張量。

• 向量是單列/行的特殊矩陣。
• 矩陣是多維數據的結構化表示。
• 并向量矩陣可能是向量組合或外積的矩陣形式，需結合具體上下文理解。

分類

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