交換運算英文解釋翻譯、交換運算的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 exchange operation

分詞翻譯：

交換的英語翻譯：

exchange; interchange; change for; commute; permutation; reciprocation
replacement
【計】 exchange; swap; swapping; switching; transput; X
【醫】 chiasmapy; cross-over; crossing-over
【經】 interchange; swap

運算的英語翻譯：

operation
【計】 O; OP; operation

專業解析

交換運算（Commutative Operation）是數學中的一個基本概念，指在特定運算規則下，參與運算的元素順序改變不影響最終結果的性質。從漢英詞典角度可解釋如下：

一、核心定義

交換運算指滿足交換律的二元運算。設運算符為 ( star )，對集合 ( S ) 中的任意元素 ( a ) 和 ( b )，若恒有： $$ a star b = b star a $$ 則該運算稱為交換運算。例如：

實數加法：( 3 + 5 = 5 + 3 )
實數乘法：( 2 times 4 = 4 times 2 )

二、典型非交換運算

矩陣乘法
矩陣 ( A{m×n} ) 與 ( B{n×p} ) 相乘時，( AB eq BA )（維度不匹配或結果不同），如旋轉矩陣與平移矩陣的複合順序直接影響幾何變換結果。

函數複合
函數 ( f(g(x)) ) 與 ( g(f(x)) ) 通常不等價，例如 ( f(x)=x+1 ) 與 ( g(x)=2x ) 複合時：

( f(g(x)) = 2x + 1 )

( g(f(x)) = 2(x+1) = 2x + 2 )

三、學科應用場景

抽象代數
交換性是阿貝爾群（如整數加法群）和交換環（如有理數環）的核心定義條件。

量子力學
算符的非交換性（( hat{A}hat{B} eq hat{B}hat{A} )）導緻不确定性原理，例如位置與動量算符滿足 ( [hat{x}, hat{p}] = ihbar )。

計算機科學
并行計算中交換運算支持無鎖優化（如累加操作），而非交換運算需嚴格同步（如隊列操作）。

權威參考來源：
定義部分參考《牛津數學詞典》（Oxford Dictionary of Mathematics）對交換律的闡釋；量子力學應用參見《量子力學概念》（Concepts of Quantum Mechanics）中算符對易性分析；計算機案例依據《并行算法設計》（Design of Parallel Algorithms）的同步機制論述。（注：因未搜索到可公開引用的線上版本，此處标注紙質文獻來源）

網絡擴展解釋

“交換運算”是數學中的基本概念，指運算中元素的順序不影響最終結果。具體解釋如下：

定義
若對某種運算$ast$，滿足對任意元素$a$和$b$都有： $$ a ast b = b ast a $$ 則該運算被稱為交換運算，對應的性質稱為交換律。
常見例子
- 加法：$a + b = b + a$（如$3+5=5+3$）
- 乘法：$a times b = b times a$（如$4 times 2 = 2 times 4$）
- 集合運算：集合的交集（$A cap B = B cap A$）與并集（$A cup B = B cup A$）也滿足交換性。
非交換運算的反例
- 減法：$a - b eq b - a$（如$5-3 eq 3-5$）
- 除法：$a div b eq b div a$（如$6 div 2 eq 2 div 6$）
- 矩陣乘法：一般情況下$AB eq BA$，除非矩陣滿足特殊條件（如對角矩陣）。
數學結構中的意義
在群論中，若群的運算滿足交換律，則該群稱為阿貝爾群（如整數加法群）。在環論中，環的加法必為交換運算，但乘法未必（如矩陣環）。
實際影響
交換性簡化了計算複雜度。例如，加法交換律允許調整算式順序以優化計算（如$7+8+3$可重組為$(7+3)+8$），但在非交換運算中（如量子力學中的算符），順序直接影響結果。