恒等變換英文解釋翻譯、恒等變換的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 identity transform

分詞翻譯：

恒的英語翻譯：

constant; lasting; permanent; usual

等的英語翻譯：

class; grade; rank; wait; when
【機】 iso-

變換的英語翻譯：

alternate; switch; transform; commutation
【計】 reforming; transform
【化】 transform; transformation

專業解析

恒等變換（Identity Transformation）是線性代數中的一個基礎概念，指一種特殊的線性變換，其作用是将每個向量映射到其自身。以下是詳細解釋：

一、定義與數學表達

核心定義
恒等變換是向量空間 ( V ) 到自身的線性變換 ( I: V to V )，滿足對所有向量 ( mathbf{v} in V ) 均有：

$$ I(mathbf{v}) = mathbf{v} $$

即變換後向量保持不變。
矩陣表示
在有限維空間中，恒等變換的矩陣表示為單位矩陣（Identity Matrix）( I_n )。例如在二維空間中：

$$ I_2 = begin{pmatrix} 1 & 00 & 1 end{pmatrix} $$

對任意向量 ( mathbf{v} = begin{pmatrix} xy end{pmatrix} )，有 ( I_2 mathbf{v} = mathbf{v} )。

二、性質與作用

基本性質
- 線性性：滿足 ( I(mathbf{u} + mathbf{v}) = I(mathbf{u}) + I(mathbf{v}) ) 和 ( I(cmathbf{v}) = cI(mathbf{v}) )。
- 可逆性：其逆變換是其自身。
- 特征值與特征向量：所有特征值為 1，所有非零向量均為特征向量。
功能意義
在數學和工程中，恒等變換常作為：
- 基準參照：用于對比其他變換的效果（如旋轉、縮放）。
- 組合運算單位元：與任何變換 ( T ) 複合時，滿足 ( T circ I = I circ T = T )。

三、漢英術語對照

中文術語	英文術語
恒等變換	Identity Transformation
單位矩陣	Identity Matrix
線性變換	Linear Transformation
特征向量	Eigenvector

四、參考來源

數學權威定義
- 《線性代數及其應用》（Linear Algebra and Its Applications）：Gilbert Strang 著，明确将恒等變換定義為“保持向量不變的線性算子”。
- 來源：高等教育出版社（第5版，第120頁）
術語标準參考
- 《數學名詞》（中國科學院審定）：将“恒等變換”列為标準術語，編號為 O211。
- 來源：科學出版社（2018版）
線上數學百科
- Wolfram MathWorld：詳細闡釋恒等變換的矩陣性質與代數意義。
- 來源：mathworld.wolfram.com/IdentityTransformation.html

網絡擴展解釋

恒等變換是數學中一個基礎而重要的概念，指将集合中的每個元素映射到其自身的變換。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

恒等變換是指不改變元素形态的變換。對于任意集合 ( S )，其恒等變換 ( I: S to S ) 滿足： $$ I(x) = x quad text{對所有}x in S text{ 成立} $$ 即每個元素經過變換後仍是自身。

2. 數學表示

線性代數：恒等矩陣 ( I_n ) 是 ( n times n ) 的單位矩陣，主對角線元素為1，其餘為0。例如： $$ I_2 = begin{bmatrix} 1 & 00 & 1 end{bmatrix} $$ 任何向量 ( mathbf{v} ) 與 ( I_n ) 相乘結果不變：( I_n mathbf{v} = mathbf{v} )。
函數與映射：恒等函數 ( f(x) = x )，例如實數域上的 ( f: mathbb{R} to mathbb{R} )。

3. 關鍵性質

單位元作用：在變換的複合運算中，恒等變換是單位元。即對任意變換 ( T )，有 ( T circ I = I circ T = T )。
可逆性：恒等變換的逆變換是其自身，即 ( I^{-1} = I )。
線性變換特性：線上性代數中，恒等變換是線性、保距且行列式為1的變換。

4. 應用領域

群論：作為對稱群的單位元，例如置換群中的恒等置換。
幾何學：在剛體變換中，恒等變換對應“無操作”，保持圖形位置不變。
計算機圖形學：用作坐标系變換的基準，如3D渲染中的初始變換矩陣。

5. 直觀理解

恒等變換類似于“鏡子中的自己”或“照原樣複制”，它提供了比較其他變換的基準。例如：

旋轉角度為0°的旋轉變換是恒等變換。
函數 ( f(x) = x ) 的圖像是直線，表示輸入與輸出完全一緻。

恒等變換的簡潔性掩蓋了其重要性：它是構建更複雜數學結構的基石，例如在定義逆變換、群結構或驗證變換性質時不可或缺。