克萊姆塞公式英文解釋翻譯、克萊姆塞公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【機】 Kremser formula

分詞翻譯：

克的英語翻譯：

gram; gramme; overcome; restrain
【醫】 G.; Gm.; gram; gramme

姆的英語翻譯：

【醫】 mho

塞的英語翻譯：

a place of strategic importance; fill in; stopper; stuff; tuck
【醫】 tampon

公式的英語翻譯：

formula
【計】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【醫】 F.; formula

專業解析

克萊姆塞公式（Cramer's Rule）是線性代數中用于求解線性方程組的一種方法，適用于系數矩陣為方陣且行列式非零的情形。以下從漢英詞典角度詳細解釋其含義與應用：

一、術語定義（中英對照）

• 中文術語：克萊姆塞公式 (Kè lái mǔ sāi gōng shì)
• 英文術語：Cramer's Rule
• 核心定義：

  若線性方程組 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 的系數矩陣 ( A ) 是 ( n times n ) 可逆矩陣（即 ( det(A) eq 0 )），則方程組有唯一解，其解的第 ( i ) 個分量 ( x_i ) 可表示為：

  $$ x_i = frac{det(A_i)}{det(A)} $$

  其中 ( A_i ) 是将 ( A ) 的第 ( i ) 列替換為常數列 ( mathbf{b} ) 後的矩陣。

二、原理與推導

1. 適用條件：

   • 方程組變量數與方程數相等（( n ) 個方程，( n ) 個未知數）。
   • 系數矩陣 ( A ) 的行列式非零（( det(A) eq 0 )），确保解唯一存在。

2. 計算步驟：

   • 計算系數矩陣行列式 ( det(A) )。
   • 對每個未知數 ( x_i )，構造矩陣 ( A_i )（将 ( A ) 的第 ( i ) 列替換為 ( mathbf{b} )）。
   • 求解 ( x_i = frac{det(A_i)}{det(A)} )。

3. 示例說明（二元方程組）：

   $$ begin{cases} a_{11}x1 + a{12}x_2 = b1 a{21}x1 + a{22}x_2 = b_2 end{cases} $$

   解為：

   $$ x_1 = frac{begin{vmatrix} b1 & a{12}b2 & a{22} end{vmatrix}}{det(A)}, quad x2 = frac{begin{vmatrix} a{11} & b1a{21} & b_2 end{vmatrix}}{det(A)}. $$

三、應用場景與局限性

• 適用場景：
  • 小規模方程組（如 ( n leq 3 )）的解析求解。
  • 理論分析中驗證解的唯一性。
• 局限性：
  • 計算效率低：對 ( n geq 4 ) 的方程組，行列式計算複雜度高（( O(n!) )），遠低于高斯消元法（( O(n) )）。
  • 條件苛刻：要求 ( det(A) eq 0 )，否則無法直接應用。

四、權威參考文獻

1. 教材著作：
   • Strang, G. Linear Algebra and Its Applications（第 4 版），詳細闡述克萊姆法則的推導及幾何意義。
   • 丘維聲，《高等代數》（高等教育出版社），第 2.5 節讨論行列式在方程組求解中的應用。
2. 學術資源：
   • MIT OpenCourseWare Linear Algebra Lecture Notes ，提供克萊姆法則的證明與實例。
   • Wolfram MathWorld "Cramer's Rule" 詞條 ，涵蓋公式的數學表述與擴展應用。

五、擴展知識

• 曆史背景：該定理由瑞士數學家 Gabriel Cramer 于 1750 年提出，但類似方法早見于 Colin Maclaurin 的著作（1748 年）。
• 現代替代方法：數值計算中更常用 LU 分解、疊代法等高效算法。

注：公式中的行列式需嚴格按數學規範書寫，實際應用建議結合計算工具（如 MATLAB、NumPy）。

網絡擴展解釋

由于未搜索到與“克萊姆塞公式”直接相關的信息，推測可能存在以下情況：

1. 術語準确性
   “克萊姆塞”可能是“克萊姆”（Cramer）或“克拉默”（Kramers）的音譯變體。常見相關公式包括：

   • 克萊姆法則（Cramer's Rule）：用于求解線性方程組的解，通過行列式計算實現。
   • 克拉默-拉奧下界（Cramér-Rao Bound）：統計學中參數估計的理論精度極限。

2. 若指克萊姆法則（Cramer's Rule）
   該法則適用于由 ( n ) 個方程構成的唯一解線性方程組，且系數矩陣行列式非零（即矩陣可逆）。解的表達式為： $$ x_i = frac{det(A_i)}{det(A)} $$ 其中 ( A_i ) 是将系數矩陣 ( A ) 的第 ( i ) 列替換為常數項後的矩陣。

3. 注意事項

   • 僅適用于方陣且 (det(A) eq 0) 的情況。
   • 計算複雜度高（需多次求行列式），實際應用中更常用高斯消元法。

若您指的是其他公式，請提供更多上下文或檢查術語拼寫，以便進一步解答。

分類

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