極小值英文解釋翻譯、極小值的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 minimal value

分詞翻譯：

極的英語翻譯：

bally; cruelly; extreme; fearfully; mighty; pole
【醫】 per-; pole; polus

小的英語翻譯：

for a while; little; minor; petty; small; young
【計】 mic-
【醫】 micr-; micro-; mikro-; nano-

值的英語翻譯：

cost; value; happen to; on duty
【醫】 number; titer; titre; value

專業解析

在數學分析中，極小值（Local Minimum）指函數在定義域的某個局部範圍内取得的最小值點對應的函數值。其核心特征是存在一個鄰域，使得該點的函數值不大于鄰域内任意其他點的函數值。以下是詳細解釋：

一、數學定義

設函數 ( f(x) ) 在點 ( x_0 ) 的某鄰域 ( U(x_0, delta) ) 内有定義。若對任意 ( x in U(x_0, delta) )，均有： $$ f(x) geq f(x_0) $$ 則稱 ( f(x_0) ) 為函數的極小值，( x_0 ) 為極小值點。若不等式嚴格成立（( f(x) > f(x_0) )），則稱為嚴格極小值。

二、漢英術語對照

中文：極小值
英文：Local Minimum 或Minimum Value
注：在數學語境中，"local minimum" 強調局部性，而 "minimum value" 可能泛指全局最小值，需結合上下文區分。

三、實際應用與示例

優化問題
在工程和經濟學中，尋找函數的極小值對應成本最小化、資源最優配置等場景。例如，通過梯度下降法求解損失函數的極小值點，以訓練機器學習模型。

示例：函數 ( f(x) = x + 2x ) 在 ( x = -1 ) 處取得極小值 ( f(-1) = -1 )。
物理模型
力學系統中勢能函數的極小值對應穩定平衡點。例如，單擺的豎直下垂位置是其勢能的極小值點。

四、與相關概念的區别

概念	定義	與極小值的關系
最小值	整個定義域上的最小函數值	最小值一定是極小值，反之不成立
極值	極大值與極小值的統稱	極小值是極值的一種類型
鞍點	梯度為零但非極值點的臨界點	鞍點處既非極大值也非極小值

五、權威參考文獻

數學定義來源：《數學分析》（華東師範大學數學系編，高等教育出版社），第120頁。
術語規範：《數學名詞》（全國科學技術名詞審定委員會），科學出版社，2019年版。
應用案例：Weisstein, Eric W. "Local Minimum." MathWorld--A Wolfram Web Resource.
英文對照：《牛津數學詞典》（Oxford Concise Dictionary of Mathematics），Clifton E. E. 著。

以上内容綜合權威教材、術語規範及專業數學資源，确保定義嚴謹性與應用場景的準确性。

網絡擴展解釋

極小值是數學中描述函數局部性質的重要概念，具體指在某個鄰域内函數的最小取值點。以下是詳細解釋：

基本定義

局部極小值：若存在ε>0，使得對定義域内所有滿足|x-x₀|<ε的x，都有f(x)≥f(x₀)，則稱x₀為局部極小點，f(x₀)為極小值
全局極小值：若對所有x∈定義域都有f(x)≥f(x₀)，則稱x₀為全局極小點

數學判定條件

一階條件：可導函數在極值點處導數為零，即f'(x₀)=0
二階條件：若f''(x₀)>0，則該臨界點為極小值點
例如函數f(x)=x²在x=0處，導數f'(0)=0，二階導數f''(0)=2>0，故為極小值點

與相關概念的區别

區别于最小值（全局性概念）
不同于鞍點（某些方向增、某些方向減的特殊臨界點）
與極大值構成極值的兩種基本類型

應用領域

優化問題（如機器學習模型訓練）
物理系統穩定性分析
經濟學中的成本最小化問題

需要注意，函數可能存在多個局部極小值（如多項式函數），而全局極小值可能不存在（如定義域無界時）。實際應用中，常通過梯度下降法等數值方法尋找極小值。