朗之萬方程英文解釋翻譯、朗之萬方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 Langevin equation

分詞翻譯：

朗的英語翻譯：

bright; loud and clear

之的英語翻譯：

go; leave; of; somebody; something; this

萬方的英語翻譯：

all places; extremely

程的英語翻譯：

order; rule
【化】 range

專業解析

朗之萬方程（Langevin Equation）是統計物理學中描述粒子在隨機力作用下運動的隨機微分方程。以下從漢英詞典角度對其詳細解釋：

一、術語中英對照與定義

中文名稱
朗之萬方程（Lǎng zhī wàn fāngchéng）

英文名稱

Langevin Equation
核心定義
- 中文：描述布朗運動中粒子受隨機力（噪聲）和阻尼力作用的動力學方程。
- 英文：A stochastic differential equation modeling the dynamics of a particle undergoing Brownian motion, subject to damping and random fluctuating forces.

二、方程形式與物理意義

經典朗之萬方程

mfrac{dmathbf{r}}{dt} = -gamma frac{dmathbf{r}}{dt} + mathbf{F}(t) + boldsymbol{eta}(t)

參數解釋：
- $m$：粒子質量（mass）
- $gamma$：阻尼系數（damping coefficient）
- $mathbf{F}(t)$：确定性外力（deterministic external force）
- $boldsymbol{eta}(t)$：高斯白噪聲隨機力（Gaussian white noise），滿足：
  $$
  
  langle eta_i(t) rangle = 0, quad langle eta_i(t) eta_j(t') rangle = 2gamma kB T delta{ij} delta(t-t')
  
  $$
  
  其中 $k_B$ 為玻爾茲曼常數，$T$ 為溫度。

物理意義

方程将粒子運動分解為：

慣性項（$mfrac{dmathbf{r}}{dt}$）
阻尼耗散（$-gamma frac{dmathbf{r}}{dt}$）
隨機漲落（$boldsymbol{eta}(t)$），代表熱噪聲對粒子的瞬時碰撞。

三、應用領域

布朗運動研究
定量解釋懸浮微粒的無規則運動（如花粉在水中的擴散）。

軟物質物理
模拟聚合物鍊、膠體顆粒的動力學行為。

金融數學
用于期權定價模型（如Heston模型）中的隨機波動率描述。

四、權威參考來源

經典文獻
- Langevin, P. (1908). "Sur la théorie du mouvement brownien" (Comptes Rendus de l'Académie des Sciences). 原始論文提出方程框架。
教材與專著
- 《Statistical Mechanics》（Kerson Huang）：系統推導朗之萬方程與福克-普朗克方程的聯繫。
- 《The Fokker-Planck Equation》（H. Risken）：深入分析方程的數學基礎和解法。
線上資源
- Encyclopedia of Mathematics（Springer）：條目"Langevin equation"詳述理論背景。

五、相關概念拓展

廣義朗之萬方程：適用于非馬爾可夫過程（噪聲具記憶效應）。
福克-普朗克方程：朗之萬方程對應的概率密度演化方程。

注：由于未搜索到可驗證的權威網頁鍊接，以上引用僅标注文獻與教材名稱。建議通過學術數據庫（如Google Scholar、JSTOR）查詢具體文獻來源。

網絡擴展解釋

朗之萬方程是描述布朗運動中粒子隨機運動的動力學方程，結合了确定性力與隨機力的作用。以下是其核心要點：

1. 基本形式與物理意義

朗之萬方程的一般形式為： $$ mfrac{dx}{dt} = -gamma frac{dx}{dt} + F_{text{ext}}(x) + eta(t) $$ 其中：

(m) 為粒子質量；
(gamma) 為摩擦系數（與斯托克斯公式相關）；
(F_{text{ext}}(x)) 為外部勢場産生的力（如重力或電磁力）；
(eta(t)) 為隨機力，模拟流體分子碰撞的漲落效應。

當無外部力時，方程簡化為： $$ mfrac{dx}{dt} = -gamma frac{dx}{dt} + eta(t) $$

2. 關鍵參數與假設

斯托克斯公式：摩擦系數 (gamma = 6pieta a)，其中 (eta) 為流體黏度，(a) 為粒子半徑。
隨機力性質：(eta(t)) 是高斯白噪聲，滿足：
- 均值：(langle eta(t) rangle = 0)
- 關聯函數：(langle eta(t)eta(t') rangle = 2gamma k_B T delta(t-t'))
  這裡 (k_B) 為玻爾茲曼常數，(T) 為溫度，體現漲落耗散定理。

3. 解的性質與擴散行為

通過求解方程可得：

位移均方：(langle x(t) rangle = 2Dt)（長時間極限下），其中擴散系數 (D = frac{k_B T}{gamma})，即愛因斯坦關系。
特征時間：(gamma^{-1}) 為系統弛豫時間，區分短時慣性主導與長時擴散主導行為。

4. 應用領域

物理與化學：模拟布朗運動、膠體動力學、蛋白質折疊。
統計力學：研究熱漲落與耗散的平衡。
機器學習：朗之萬動力學用于優化算法（如隨機梯度下降的擴展）。

示例簡化模型

若忽略慣性項（過阻尼極限），方程退化為： $$ gamma frac{dx}{dt} = F_{text{ext}}(x) + eta(t) $$ 此形式廣泛用于軟物質和生物物理模拟。

如需更深入的數學推導或具體案例，可參考文獻。