生成函數英文解釋翻譯、生成函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generated function; generation function

【計】 generating; spanning
【醫】 production

function
【計】 F; FUNC; function

在數學和計算機科學領域，生成函數（Generating Function）是一種将序列編碼為形式幂級數系數的工具，用于研究序列性質、求解遞推關系或進行組合計數。以下是漢英詞典角度的詳細解釋：

漢語定義
生成函數是将離散數列 ({a_n})（如 (a_0, a_1, a_2, ldots)）映射為形式幂級數的函數，其系數對應序列的每一項。

英語對應：Generating Function (GF) encodes a sequence ({a_n}) into a formal power series (G(an; x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n).
數學表達
普通生成函數（Ordinary Generating Function, OGF）的标準形式為：

$$ G(x) = sum_{k=0}^{infty} ak x^k $$

指數生成函數（Exponential Generating Function, EGF）則為：

$$ E(x) = sum{k=0}^{infty} a_k frac{x^k}{k!} $$

序列分析
通過生成函數的代數運算（如加法、乘法、求導），可推導序列的遞推關系、閉式解或漸進行為。

例：斐波那契數列的生成函數 (F(x) = frac{x}{1-x-x})，其級數展開系數即為序列值。
組合計數
在組合數學中，生成函數用于計算離散結構的可能配置數量。

例：若 (a_k) 表示大小為 (k) 的組合對象數，則 (G(x)) 的系數對應計數結果。
問題求解
生成函數可将複雜問題轉化為幂級數運算，簡化概率模型、整數分拆等問題的求解過程。

《組合數學》（Richard P. Stanley）
經典教材系統闡述生成函數在組合計數中的應用，包括有理生成函數與代數生成函數的分類。

劍橋大學出版社鍊接（需訂閱訪問）
Wolfram MathWorld
"Generating Function" 詞條提供數學定義、分類及基礎性質。

Generating Function - MathWorld
MIT OpenCourseWare
課程講義《Applied Combinatorics》第4章詳述生成函數與組合問題的關聯。

MIT OCW講義鍊接

注：因未搜索到可直接引用的線上漢英詞典資源，本文定義部分綜合了權威數學教材與學術平台内容。建議讀者結合專業文獻深化理解。

生成函數（Generating Function）在不同領域有不同含義，以下是兩種常見解釋：

生成函數是一種将數列編碼為多項式系數的方法，通過研究其形式來揭示數列性質。主要類型包括：

普通生成函數（OGF）
形式為：
$$ G(an; x) = sum{n=0}^{infty} a_n x^n $$
用于解決遞推關系或組合計數問題。例如，斐波那契數列的生成函數可推導通項公式。
指數生成函數（EGF）
形式為：
$$ E(an; x) = sum{n=0}^{infty} a_n frac{x^n}{n!} $$
適用于排列、組合等與階乘相關的問題。

應用場景：

在計算機科學中（如Python），生成器函數（Generator Function）是一種特殊函數，通過 yield 關鍵字逐步生成值，而非一次性返回所有結果。
特點：

示例：

def fibonacci():
a, b = 0, 1
while True:
yield a
a, b = b, a + b

需根據上下文判斷具體含義：