上三角矩陣英文解釋翻譯、上三角矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 upper triangular matrix

分詞翻譯：

三角矩陣的英語翻譯：

【計】 triangular matrix

專業解析

上三角矩陣（Upper Triangular Matrix）是線性代數中具有特殊結構的一類方陣。其定義為：若一個$n times n$矩陣$A=(a{ij})$滿足當$i > j$時$a{ij}=0$，則該矩陣稱為上三角矩陣。這類矩陣的主對角線以下（不含主對角線）的所有元素均為零，形如： $$ begin{pmatrix} a{11} & a{12} & cdots & a{1n} 0 & a{22} & cdots & a{2n} vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & a{nn} end{pmatrix} $$

核心特性包括：

簡化運算：在解線性方程組$Ax=b$時，上三角矩陣可通過回代法快速求解（參考《線性代數及其應用》）；
特征值位置：其所有特征值均位于主對角線上（見Gilbert Strang《線性代數導論》）；
運算封閉性：兩個上三角矩陣的乘積仍為上三角矩陣，其逆矩陣（若存在）也保持上三角結構。

工程應用實例包括：

電路分析中導納矩陣的三角化處理（IEEE Transactions on Circuits and Systems期刊）
機器人運動學中的坐标變換鍊式分解（Springer《工程數學手冊》）

相關概念包含嚴格上三角矩陣（對角線元素也為零）和分塊上三角矩陣，這類拓展形式在控制系統的狀态空間分析中具有重要價值。

網絡擴展解釋

上三角矩陣是線性代數中的一種特殊方陣，其特點是主對角線以下（即行號大于列號）的所有元素均為零。具體來說，對于 ( n times n ) 的矩陣 ( A = [a{ij}] )，若滿足 ( a{ij} = 0 )（當 ( i > j ) 時），則稱 ( A ) 為上三角矩陣。

核心性質

行列式計算
上三角矩陣的行列式等于主對角線元素的乘積，即： $$ det(A) = a{11} cdot a{22} cdot ldots cdot a_{nn} $$ 這一性質極大簡化了行列式的計算。
特征值位置
上三角矩陣的特征值直接位于主對角線上，無需通過特征方程求解。
運算封閉性
兩個上三角矩陣的乘積仍為上三角矩陣，加法、數乘運算也保持上三角結構。

典型示例

一個 ( 3 times 3 ) 的上三角矩陣形式為： $$ A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 end{pmatrix} $$ 其行列式為 ( 1 times 4 times 6 = 24 )，特征值為 1、4、6。

應用場景

線性方程組求解：通過高斯消元法将系數矩陣化為上三角形式後，可快速回代求解。
矩陣分解：如 Schur 分解将矩陣分解為上三角矩陣與酉矩陣的乘積，用于特征值分析。
數值計算：上三角結構減少了計算複雜度，提升算法效率。

對比擴展

下三角矩陣：主對角線以上元素為零，性質與上三角矩陣類似。
嚴格上三角矩陣：主對角線元素也為零（即 ( a_{ij} = 0 ) 當 ( i geq j )），常見于幂零矩陣。

上三角矩陣因其結構簡潔且性質優良，成為矩陣理論和實際計算中的重要工具。