曲線族英文解釋翻譯、曲線族的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 series of curves

分詞翻譯：

曲線的英語翻譯：

curve
【醫】 curve
【經】 curve

族的英語翻譯：

a group of things with common features; clan; family; race; strain
【化】 alkaline earths; family; group; odd series; periodic family; sub-group
subgroup
【醫】 group; race; series; tribe

專業解析

在數學與工程學領域，"曲線族"（family of curves）指具有共同數學特征或滿足同一條件的一組連續曲線集合。這類曲線通常通過一個或多個參數定義，其形态變化反映了參數對幾何結構的調控作用。

從微分方程角度，曲線族常表現為通解中包含任意常數的解集。例如一階常微分方程的通解可表示為$$F(x,y,C)=0$$，其中常數( C )的不同取值對應族中不同曲線。幾何學中典型的曲線族包括：

同心圓族：由固定圓心、不同半徑的圓構成
平行直線族：斜率相同而截距不同的直線集合
等勢線族：物理場中電勢相等的連線

工程應用方面，曲線族在電磁場分析（電場線分布）、機械運動軌迹設計（凸輪輪廓族）和熱力學（等溫線分布）等領域具有重要價值。美國數學學會的《微分方程應用指南》指出，參數化曲線族是建立物理系統數學模型的基礎工具。

該術語在權威詞典中的準确定義可參考《牛津數學詞典》第5版"family of curves"條目，其強調參數關聯性和幾何相似性特征。實際應用中需注意區分曲線族與曲線簇的概念差異，後者特指滿足兩個獨立條件的曲線雙重系統。

網絡擴展解釋

曲線族（Family of Curves）指由同一類方程生成的一系列曲線集合，這些曲線通過調整方程中的參數而相互關聯。以下為詳細解釋：

1.基本定義

曲線族是由一個含參數的方程所描述的所有曲線的總稱。例如：

方程 ( xy = C )（C為常數）對應雙曲線族，每個不同的C值生成一條雙曲線。
二次曲線族 ( y = ax + bx + c )，通過改變參數( a, b, c )得到不同的抛物線。

2.“族”與“簇”的辨析

“族”：強調曲線因參數變化而聚合的結果，如“曲線族”指滿足特定關系的曲線集合。
“簇”：原指小竹叢生，引申為動詞性聚集，如“數據聚類”。數學中較少用于描述參數化曲線集合。

3.數學表達

一般形式為隱函數方程 ( F(x, y, C) = 0 )，其中( C )為參數。例如：

直線族：( y = kx + b )，參數為斜率( k )和截距( b )。

4.相關應用

正交軌線：與曲線族中每條曲線垂直相交的曲線。例如，雙曲線族( xy = C )的正交軌線為另一組雙曲線。
包絡線：與曲線族中每條曲線至少有一個切點的曲線，可通過聯立方程 ( F(x, y, C) = 0 ) 和 ( frac{partial F}{partial C} = 0 ) 求解。

5.示例與圖示

以雙曲線族( xy = C )為例：

當( C > 0 )時，曲線為第一、三象限的雙曲線；
當( C < 0 )時，曲線為第二、四象限的雙曲線；
當( C = 0 )時，退化為坐标軸。

如需進一步了解特定曲線族的幾何性質或計算方法，可參考微分幾何或數值分析相關文獻。