平衡響應函數英文解釋翻譯、平衡響應函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 equilibrium response function

分詞翻譯：

平衡的英語翻譯：

balance; counterpoise; equation; equilibrium; equipoise; poise; standoff
【計】 balancing; equalization
【化】 equilibrium
【醫】 balance; bilanz; equilibration; equilibrium
【經】 balancing; counterbalance; equalization; equilibrium; in balance; level

響應函數的英語翻譯：

【計】 response function
【化】 response function

專業解析

在漢英詞典視角下，“平衡響應函數”（Balanced Response Function）是一個控制理論、信號處理或系統科學領域的專業術語，指系統在平衡狀态（equilibrium state）附近，對輸入信號（input signal）或擾動（disturbance）做出響應的數學描述函數。其核心在于系統動态特性在特定工作點附近的線性化表達，常用于分析穩定性、頻率響應或設計控制器。以下是詳細解釋：

1. 術語定義與核心概念

平衡狀态 (Equilibrium State)：系統處于靜止或穩态運行點，所有狀态變量的導數為零（$frac{dmathbf{x}}{dt} = mathbf{0}$）。
響應 (Response)：系統輸出變量 $mathbf{y}(t)$ 隨時間的變化，由輸入 $mathbf{u}(t)$ 和初始狀态 $mathbf{x}(0)$ 共同決定。
函數 (Function)：描述輸入、狀态與輸出之間動态關系的數學映射。
“平衡”的體現：該函數是通過在系統平衡點 $mathbf{x}_e, mathbf{u}_e$ 附近進行線性化（如泰勒展開一階近似）得到的線性時不變（LTI）模型，用以近似系統在平衡點鄰域的行為。

2. 數學表達與狀态空間形式平衡響應函數通常表示為線性狀态空間模型： $$ begin{align} dot{mathbf{x}}(t) &= mathbf{A} mathbf{x}(t) + mathbf{B} mathbf{u}(t) mathbf{y}(t) &= mathbf{C} mathbf{x}(t) + mathbf{D} mathbf{u}(t) end{align} $$ 其中：

$mathbf{x}(t)$ 是狀态向量（偏離平衡狀态的偏移量）。
$mathbf{u}(t)$ 是輸入向量（偏離平衡輸入的偏移量）。
$mathbf{y}(t)$ 是輸出向量（偏離平衡輸出的偏移量）。
$mathbf{A}$ 是狀态矩陣，描述系統内部動态。
$mathbf{B}$ 是輸入矩陣，描述輸入對狀态的影響。
$mathbf{C}$ 是輸出矩陣，描述狀态對輸出的影響。
$mathbf{D}$ 是前饋矩陣，描述輸入對輸出的直接影響（通常較小或為零）。該模型即為系統在平衡點附近的線性化近似，其輸入輸出關系（傳遞函數或頻率響應）即為“平衡響應函數”的具體體現。

3. 應用場景

穩定性分析：通過分析 $mathbf{A}$ 矩陣的特征值判斷系統在平衡點附近的局部穩定性。
控制器設計：基于線性化模型設計控制器（如PID、LQR、$H_infty$），确保系統在期望工作點附近具有良好的動态響應（如快速性、魯棒性）。
頻率響應分析：計算傳遞函數 $G(s) = mathbf{C}(smathbf{I} - mathbf{A})^{-1}mathbf{B} + mathbf{D}$，繪制伯德圖分析系統對不同頻率輸入的增益和相位響應。
模型簡化：在平衡點附近，複雜的非線性系統可用此線性模型簡化分析與設計。

參考來源：

Franklin, G. F., Powell, J. D., & Emami-Naeini, A. (2015). Feedback Control of Dynamic Systems (7th ed.). Pearson. (經典控制系統教材，詳述線性化與狀态空間模型)
Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering (5th ed.). Prentice Hall. (廣泛使用的控制工程教材，涵蓋狀态空間分析與設計)
Khalil, H. K. (2015). Nonlinear Control (3rd ed.). Pearson. (深入讨論非線性系統在平衡點附近的線性化理論)

網絡擴展解釋

平衡響應函數（Equilibrium Response Function）是描述系統在平衡狀态下對外部擾動或變量變化的響應關系的數學工具。以下是綜合解釋：

核心定義
它指當一個系統處于平衡狀态時，某一變量對另一變量變化的敏感程度或影響程度。例如，在化學平衡中，改變反應物濃度會導緻系統重新調整，此時響應函數可量化這種調整的動态過程。
應用領域
- 化學：分析動态平衡體系中變量間的相互作用（如濃度、溫度變化對反應速率的影響）。
- 經濟學：研究市場供需關系在均衡狀态下的價格彈性或政策幹預效果。
- 工程學：評估系統在穩定狀态下對外部激勵（如機械振動、電磁幹擾）的響應能力。
數學與統計意義
通常通過微分方程或統計模型構建，例如用偏導數表示變量間的瞬時響應關系。若系統平衡方程為 $F(x,y)=0$，則響應函數可表達為：
$$ frac{partial y}{partial x} = -frac{partial F/partial x}{partial F/partial y} $$
這一公式體現了變量$x$變化時$y$的調整速率。
實際意義
幫助預測系統在受幹擾後如何回歸平衡，例如環境科學中評估污染物擴散後的生态恢複能力，或金融模型中分析利率調整對市場均衡的影響。