算術謂詞英文解釋翻譯、算術謂詞的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 arithmetic predicate

分詞翻譯：

算術的英語翻譯：

arithmetic
【計】 arithmetic expression

謂詞的英語翻譯：

predication; predicative
【計】 predicate

專業解析

在漢英詞典視角下，“算術謂詞”指在算術系統中用于描述自然數性質的邏輯表達式，其英文對應術語為Arithmetic Predicate。以下是基于邏輯學與數學基礎的詳細解釋：

一、核心定義

算術謂詞（Arithmetic Predicate）是一類可作用于自然數的邏輯函數，用于判斷數字是否滿足特定算術性質。其形式化定義為：

若 ( P(n_1, n_2, dots, n_k) ) 是一個以自然數為輸入、輸出真/假值的函數，且該函數可通過算術運算（如加法、乘法）和邏輯運算符（如與、或、非）定義，則稱 ( P ) 為算術謂詞。

示例：

“n是偶數”可定義為：(exists m (n = 2 times m))
“n是質數”需滿足：(n>1 land forall a,b (a times b = n to (a=1 lor b=1)))

二、數學邏輯中的關鍵特性

可表達性
在形式算術系統（如皮亞諾算術）中，算術謂詞對應一個包含自由變量的公式。例如“x > y”可表示為 (exists z (x = y + z + 1))（參考一階算術形式化）。
遞歸可枚舉性
哥德爾不完備性定理證明：所有遞歸可枚舉的算術謂詞均可在形式系統中表達，但存在不可判定的謂詞（如“語句φ在系統中不可證”）。

三、計算理論視角

算術謂詞與圖靈機計算密切相關：

邱奇-圖靈論題：一個自然數謂詞可計算當且僅當它是遞歸的（即存在算法判定其真假）。
停機問題：形如“程式e在輸入x上停機”的謂詞是算術的但不可判定（參考圖靈不可判定性證明）。

四、權威學術參考

數理邏輯經典定義
Enderton, H. B. (2001). A Mathematical Introduction to Logic（2nd ed.）. Academic Press.

▶ 第7章詳細定義算術謂詞在形式語言中的編碼（ISBN 978-0122384523）。
哥德爾編碼的原始論文
Gödel, K. (1931). "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I". Monatshefte für Mathematik und Physik.

▶ 首次将元數學語句編碼為算術謂詞（DOI: 10.1007/BF01700692）。
可計算性理論關聯
Cutland, N. (1980). Computability: An Introduction to Recursive Function Theory. Cambridge University Press.

▶ 第6章證明算術謂詞與遞歸函數的等價性（ISBN 978-0521294652）。

五、漢英對照示例

中文表述	英文表述	形式化定義
“n是奇數”	"n is odd"	(exists m (n = 2m + 1))
“a整除b”	"a divides b"	(exists k (b = a times k))
“x是平方數”	"x is a perfect square"	(exists y (x = y times y))

附：與命題邏輯的差異

算術謂詞擴展了命題邏輯的表達能力：

命題邏輯：僅能表示原子命題的真假（如“2+3=5”）
謂詞邏輯：引入量詞（∀, ∃）和變量，可表達“所有偶數可被2整除”等普遍性結論。

網絡擴展解釋

“算術謂詞”是一個組合術語，需結合“算術”與“謂詞”的學科背景來理解。以下是可能的解釋方向：

1.數理邏輯中的定義

在形式算術系統（如一階算術或Peano算術）中，算術謂詞指在算術語言中可定義的謂詞。它用于描述自然數的性質或關系，例如：

基本關系：如“x等于y”（公式為 (x = y)）或“x小于y”（(x < y)）。
複雜性質：如“x是素數”或“x是偶數”，這類謂詞可通過算術運算（加法、乘法）和邏輯聯結詞（∧, ∨, ¬）組合表達。

這類謂詞允許量化（∀, ∃），構成算術命題，例如“存在無限多個素數”可形式化為 (forall n exists p (p > n land text{Prime}(p)))。

2.遞歸論中的遞歸謂詞

在可計算性理論中，算術謂詞可能指自然數上的遞歸謂詞（即存在算法判定其真假）。例如：

可判定性：如“x是斐波那契數”可通過有限步驟驗證。
層級分類：根據複雜性分為Σ⁰₁（存在可計算驗證）或Π⁰₁（全稱可計算驗證）等類别。

3.與其他邏輯系統的對比

一階邏輯：算術謂詞屬于一階邏輯的擴展，增加了算術公理（如Peano公理）。
高階邏輯：高階謂詞涉及集合或函數量化，而算術謂詞僅限自然數域。

常見應用場景

哥德爾不完備定理：通過構造自指的算術謂詞證明形式系統的不完備性。
模型論：研究算術結構滿足哪些謂詞，如非标準模型中“無窮大數”的存在性。

若需更具體的文獻定義，建議提供上下文或查閱數理邏輯教材（如Enderton的《數學邏輯》）。