條件概率密度英文解釋翻譯、條件概率密度的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 conditional probability density

分詞翻譯：

條件的英語翻譯：

capitulation; condition; factor; if; prerequisite; qualification; requirement
term
【計】 condition; criteria
【醫】 condition
【經】 condition; proviso; terms

概率密度的英語翻譯：

【計】 probability density
【化】 density of probability; probability density

專業解析

條件概率密度（Conditional Probability Density）是概率論與統計學中的核心概念，用于描述在已知某一事件發生的條件下，另一隨機變量的概率分布特性。其數學定義為：若連續型隨機變量(X)和(Y)的聯合概率密度函數為(f_{X,Y}(x,y))，且(Y)的邊緣密度函數(fY(y) > 0)，則(X)在(Y=y)條件下的條件概率密度函數為

f{X|Y}(x|y) = frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}.

該公式表明，條件概率密度通過聯合分布與邊緣分布的比值，量化了變量間的局部依賴關系。

從應用角度看，條件概率密度在信號處理、機器學習和金融風險評估等領域均有重要作用。例如，在貝葉斯統計中，它被用于更新先驗概率以推導後驗分布。國際權威數學百科全書《MathWorld》将其描述為“多變量分析中不可或缺的工具”，強調其在複雜系統建模中的實用性。

在漢英詞典框架下，“條件概率密度”對應英文術語“conditional probability density”，其定義與《Springer數學百科》中“以條件事件為約束的連續概率測度”一緻。中國高等教育出版社《概率論與數理統計》進一步指出，該概念的本質是“通過部分已知信息，重構隨機過程的概率結構”。

網絡擴展解釋

條件概率密度是概率論中描述連續型隨機變量在給定條件下概率分布的重要概念。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

對于兩個連續型隨機變量X和Y，當已知Y=y時，X的條件概率密度函數定義為： $$ f{X|Y}(x|y) = frac{f{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} $$ 其中：

$f_{X,Y}(x,y)$是聯合概率密度函數
$f_Y(y)$是Y的邊緣概率密度函數（需滿足$f_Y(y) > 0$）

2. 直觀理解

它表示在已知Y取得特定值y的條件下，X取不同值x的相對可能性。雖然$P(Y=y)=0$，但通過概率密度的比值可以描述這種條件關系。

3. 核心性質

歸一性：對任意固定的y，滿足$int{-infty}^{infty} f{X|Y}(x|y)dx = 1$
與獨立性關系：若X與Y獨立，則$f_{X|Y}(x|y) = f_X(x)$
條件分布：可求條件概率，如$P(a < X leq b | Y=y) = inta^b f{X|Y}(x|y)dx$

4. 應用示例

以二維正态分布為例，當已知Y=y時：

條件分布$X|Y=y$仍是正态分布
條件均值$mu_{X|Y=y} = mu_X + rhosigma_Xfrac{y-mu_Y}{sigma_Y}$
條件方差$sigma_{X|Y=y} = sigma_X(1-rho)$

5. 與貝葉斯定理的關系

在貝葉斯統計中，條件概率密度用于推導後驗分布： $$ f{Theta|X}(theta|x) propto f{X|Theta}(x|theta)f_Theta(theta) $$ 其中$Theta$是參數，X是觀測數據。

注意：實際應用中需确保分母$f_Y(y) > 0$，當處理具體問題時，需要先驗證聯合概率密度的存在性及可積性。