調和方程英文解釋翻譯、調和方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 harmonic equation; Laplace equation

melody; mix; move; suit well; transfer
【計】 debugging mode

and; draw; gentle; kind; mild; harmonious; mix with; sum; summation
together with
【計】 ampersand
【醫】 c.; cum

equation

在數學和物理學中，“調和方程”（Harmonic Equation）通常指拉普拉斯方程（Laplace's Equation），它是描述一類特殊函數（調和函數）的偏微分方程。以下是詳細解釋：

中文：調和方程
英文： Harmonic Equation / Laplace's Equation

該方程描述的是在定義域内滿足特定條件的函數，其物理意義常與“平衡狀态”（如穩态熱分布、無旋流體的速度勢）相關。調和函數在邊界條件确定後具有唯一解，且滿足平均值定理。

調和方程的标準形式為拉普拉斯算子作用于函數值為零：

abla u = 0 $$

其中：

$u$ 是定義在空間（如 $mathbb{R}^n$）上的标量函數，
$ abla$ 是拉普拉斯算子（二階偏微分算子），
- 在二維直角坐标系中：$ abla u = frac{partial u}{partial x} + frac{partial u}{partial y}$
- 在三維直角坐标系中：$ abla u = frac{partial u}{partial x} + frac{partial u}{partial y} + frac{partial u}{partial z}$

滿足調和方程的函數稱為調和函數（Harmonic Function），其核心特性包括：

調和方程是經典場論的基礎模型，常見于：

調和方程可推廣為泊松方程：

abla u = f $$

其中 $f$ 是已知函數（如電荷密度）。當 $f=0$ 時，泊松方程退化為調和方程（來源：Partial Differential Equations by Evans）。

參考資料：

調和方程是數學物理方程中的一類重要偏微分方程，其核心定義和特點如下：

基本定義
調和方程又稱拉普拉斯方程（Laplace's equation），其标準形式為： $$ Delta u = 0 $$ 其中$Delta$是拉普拉斯算子，在三維直角坐标系中可表示為： $$ Delta u = frac{partial u}{partial x} + frac{partial u}{partial y} + frac{partial u}{partial z} $$ 若方程右側為非零函數$f(x,y,z)$，則稱為泊松方程（Poisson's equation）：$Delta u = f$（）。
物理意義
調和方程描述無源穩定場，例如：
- 無熱源時的穩态溫度分布（）；
- 靜電場中電勢的分布（）；
- 不可壓縮流體的無旋流動。
調和函數特性
滿足調和方程的解稱為調和函數，具有：
- 平均值性質：函數在球心的值等于球面上值的平均；
- 極值原理：非恒定調和函數在區域内部無法取得極值（）。
應用領域
調和方程廣泛應用于電磁學、流體力學、天文學及工程學中，用于分析穩态或平衡狀态的物理現象（）。
詞源背景
“調和”一詞源于拉丁語“harmonia”，指方程解具有對稱、平衡的特性，與漢語中“協調矛盾”的引申義部分關聯（）。