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常用詞典

變分公式化

例句

The characteristics equation for the distance is derived by using the variational formulation for a generalized resonator.

應用諧振腔的變分公式，導出了确定短路面之間距離的特征方程。

Then a fuzzy stochastic damage conceptional model was proposed and a fuzzy stochastic variational formulation was deduced.

提出了模糊隨機損傷的基本概念模型、推導了基于損傷的模糊隨機變分列式。

The BIE is firstly converted into a variational formulation, and then the MLS shape functions are used to generate the approximate space.

邊界積分方程首先被轉化為相應的變分形式，然後用移動最小二乘近似的形函數構造解空間。

In order to maintain the symplectic conservation conditions of FEM formulation, the integrand in the variational principle is rewritten in symmetrical form for duality variables.

為了有限元列式的保辛，變分原理被積函數可導向對于對偶變量為對稱的形式。

An elastoplastic analysis of plate-bending formulation which is incremental computation form of finite element method is derived by variational principle.

本文利用變分原理推導出彎曲闆彈塑性分析的增量形式有限元素法計算格式；

A new mixed variational formulation is presented for the elastic contact problem with application of least-square method.

采用最小二乘法對彈性接觸問題提出了一種新的混合變分形式，對該變分問題解的存在唯一性進行了論證。

Dissipative and coherent effects of X-point solitons are investigated on the basis of dynamic variational formulation in two_dimensional photonic bandgap (PBG) structure of square lattice.

采用變分方法對于二維矩形光子帶隙結構中X點孤子的耗散以及相幹作用進行了動力學分析。

The energy variational formulation of structural vibration systems is introduced and the design sensitivity equation is developed using the adjoint variable.

利用連續介質動力學理論，得到基于能量變分法的設計靈敏度方程。

專業解析

變分表述（Variational Formulation）是數學和工程領域中，将微分方程問題轉化為等價的最小化或平穩化某個泛函的問題的一種核心數學框架。它源于變分法（Calculus of Variations），通過尋找使特定泛函取極值的函數來求解物理問題。以下是詳細解釋：

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一、核心概念

1. 數學本質

   變分表述将微分方程（如泊松方程、彈性力學方程）改寫為積分形式。例如，泊松方程 (- abla u = f) 的變分形式為：

   $$ text{求 } u in V text{ 使得 } quad a(u, v) = F(v) quad forall v in V $$ 其中 (a(u,v) = int_Omega abla u cdot abla vdx) 是雙線性泛函，(F(v) = int_Omega f vdx) 是線性泛函，(V) 是函數空間（如 Sobolev 空間）。

2. 物理意義

   在力學中，變分表述對應最小勢能原理：系統真實狀态使總勢能取最小值。例如，彈性體平衡問題可轉化為：

   $$ min_{u in V} left{ frac{1}{2} int_Omega sigma(u):varepsilon(u)dx - int_Omega f cdot udx right} $$ 其中 (sigma) 為應力，(varepsilon) 為應變。

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二、關鍵優勢

• 統一框架：適用于橢圓型、抛物型偏微分方程（PDE），如熱傳導、波動方程。
• 數值計算基礎：是有限元法（FEM）的理論核心，通過離散化變分問題求解PDE。
• 弱解存在性：Lax-Milgram 定理保證在特定條件下弱解（變分解）的存在唯一性。

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三、典型應用

1. 固體力學：彈性平衡方程轉化為最小勢能問題（見上文）。
2. 電磁學：麥克斯韋方程的變分形式用于計算電磁場分布。
3. 優化控制：最優控制問題中目标函數的極值求解依賴變分原理。

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四、參考文獻

1. Springer《Encyclopedia of Mathematics》

   變分法條目（權威數學定義）

2. MIT 開放課程《Finite Element Methods》

   變分基礎講義（力學應用實例）

3. SIAM《The Mathematical Theory of Finite Elements》

   鍊接（有限元理論關聯）

4. IEEE《Computational Electromagnetics》

   變分方法章節（電磁學應用）

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通過變分表述，複雜微分方程問題可轉化為更易處理的優化問題，為理論分析和數值計算提供統一工具。

網絡擴展資料

Variational Formulation（變分公式） 是數學與工程領域中用于求解微分方程問題的一種核心方法，尤其在有限元分析中應用廣泛。其核心含義和特點如下：

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1. 基本定義

• 變分（Variational）：源自“變化”概念，指通過尋找函數空間中的極值（如能量泛函的最小值）來解決問題的方法。
• 公式化（Formulation）：指将問題轉化為數學上的特定表達形式，通常涉及積分方程而非微分方程。

因此，variational formulation 可理解為通過變分原理将微分方程問題轉化為積分形式的數學框架，便于後續數值求解。

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2. 核心特點

• 弱形式（Weak Form）：将微分方程的強形式（需處處滿足）轉換為積分形式的弱形式，降低對解的光滑性要求。
• 試函數與測試函數：需定義兩個函數空間：
  • Trial function：滿足邊界條件的候選解。
  • Test function：用于構造積分方程的權函數。
• 能量泛函極小化：部分問題（如彈性力學）可轉化為能量泛函的極小化問題，稱為Ritz方法。

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3. 與Galerkin方法的區别

• Galerkin方法：一種選擇測試函數空間的方式，通常取與試函數相同的基函數（如有限元法）。
• Variational Formulation：更廣義的框架，包含Galerkin方法，但也適用于其他變分原理（如最小勢能原理）。

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4. 應用領域

• 有限元分析（FEM）：将偏微分方程離散化為線性方程組。
• 物理建模：如結構力學中的最小勢能原理、熱傳導方程等。
• 優化問題：通過變分不等式描述約束條件下的極值問題。

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5. 示例

以泊松方程為例，其變分形式為： $$ int_Omega abla u cdot abla v , dOmega = int_Omega f v , dOmega quad (forall v in V) $$ 其中，(u)為試函數，(v)為測試函數，(V)為函數空間。

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Variational formulation 是一種将微分方程轉換為積分形式的數學工具，通過弱化解的條件和利用變分原理，為數值方法（如有限元）提供理論基礎。需注意不同學科中術語的細微差異（如工科可能側重能量泛函，數學側重弱形式）。

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