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变分公式化

例句

The characteristics equation for the distance is derived by using the variational formulation for a generalized resonator.

应用谐振腔的变分公式，导出了确定短路面之间距离的特征方程。

Then a fuzzy stochastic damage conceptional model was proposed and a fuzzy stochastic variational formulation was deduced.

提出了模糊随机损伤的基本概念模型、推导了基于损伤的模糊随机变分列式。

The BIE is firstly converted into a variational formulation, and then the MLS shape functions are used to generate the approximate space.

边界积分方程首先被转化为相应的变分形式，然后用移动最小二乘近似的形函数构造解空间。

In order to maintain the symplectic conservation conditions of FEM formulation, the integrand in the variational principle is rewritten in symmetrical form for duality variables.

为了有限元列式的保辛，变分原理被积函数可导向对于对偶变量为对称的形式。

An elastoplastic analysis of plate-bending formulation which is incremental computation form of finite element method is derived by variational principle.

本文利用变分原理推导出弯曲板弹塑性分析的增量形式有限元素法计算格式；

A new mixed variational formulation is presented for the elastic contact problem with application of least-square method.

采用最小二乘法对弹性接触问题提出了一种新的混合变分形式，对该变分问题解的存在唯一性进行了论证。

Dissipative and coherent effects of X-point solitons are investigated on the basis of dynamic variational formulation in two_dimensional photonic bandgap (PBG) structure of square lattice.

采用变分方法对于二维矩形光子带隙结构中X点孤子的耗散以及相干作用进行了动力学分析。

The energy variational formulation of structural vibration systems is introduced and the design sensitivity equation is developed using the adjoint variable.

利用连续介质动力学理论，得到基于能量变分法的设计灵敏度方程。

专业解析

变分表述（Variational Formulation）是数学和工程领域中，将微分方程问题转化为等价的最小化或平稳化某个泛函的问题的一种核心数学框架。它源于变分法（Calculus of Variations），通过寻找使特定泛函取极值的函数来求解物理问题。以下是详细解释：

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一、核心概念

1. 数学本质

   变分表述将微分方程（如泊松方程、弹性力学方程）改写为积分形式。例如，泊松方程 (- abla u = f) 的变分形式为：

   $$ text{求 } u in V text{ 使得 } quad a(u, v) = F(v) quad forall v in V $$ 其中 (a(u,v) = int_Omega abla u cdot abla vdx) 是双线性泛函，(F(v) = int_Omega f vdx) 是线性泛函，(V) 是函数空间（如 Sobolev 空间）。

2. 物理意义

   在力学中，变分表述对应最小势能原理：系统真实状态使总势能取最小值。例如，弹性体平衡问题可转化为：

   $$ min_{u in V} left{ frac{1}{2} int_Omega sigma(u):varepsilon(u)dx - int_Omega f cdot udx right} $$ 其中 (sigma) 为应力，(varepsilon) 为应变。

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二、关键优势

• 统一框架：适用于椭圆型、抛物型偏微分方程（PDE），如热传导、波动方程。
• 数值计算基础：是有限元法（FEM）的理论核心，通过离散化变分问题求解PDE。
• 弱解存在性：Lax-Milgram 定理保证在特定条件下弱解（变分解）的存在唯一性。

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三、典型应用

1. 固体力学：弹性平衡方程转化为最小势能问题（见上文）。
2. 电磁学：麦克斯韦方程的变分形式用于计算电磁场分布。
3. 优化控制：最优控制问题中目标函数的极值求解依赖变分原理。

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四、参考文献

1. Springer《Encyclopedia of Mathematics》

   变分法条目（权威数学定义）

2. MIT 开放课程《Finite Element Methods》

   变分基础讲义（力学应用实例）

3. SIAM《The Mathematical Theory of Finite Elements》

   链接（有限元理论关联）

4. IEEE《Computational Electromagnetics》

   变分方法章节（电磁学应用）

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通过变分表述，复杂微分方程问题可转化为更易处理的优化问题，为理论分析和数值计算提供统一工具。

网络扩展资料

Variational Formulation（变分公式） 是数学与工程领域中用于求解微分方程问题的一种核心方法，尤其在有限元分析中应用广泛。其核心含义和特点如下：

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1. 基本定义

• 变分（Variational）：源自“变化”概念，指通过寻找函数空间中的极值（如能量泛函的最小值）来解决问题的方法。
• 公式化（Formulation）：指将问题转化为数学上的特定表达形式，通常涉及积分方程而非微分方程。

因此，variational formulation 可理解为通过变分原理将微分方程问题转化为积分形式的数学框架，便于后续数值求解。

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2. 核心特点

• 弱形式（Weak Form）：将微分方程的强形式（需处处满足）转换为积分形式的弱形式，降低对解的光滑性要求。
• 试函数与测试函数：需定义两个函数空间：
  • Trial function：满足边界条件的候选解。
  • Test function：用于构造积分方程的权函数。
• 能量泛函极小化：部分问题（如弹性力学）可转化为能量泛函的极小化问题，称为Ritz方法。

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3. 与Galerkin方法的区别

• Galerkin方法：一种选择测试函数空间的方式，通常取与试函数相同的基函数（如有限元法）。
• Variational Formulation：更广义的框架，包含Galerkin方法，但也适用于其他变分原理（如最小势能原理）。

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4. 应用领域

• 有限元分析（FEM）：将偏微分方程离散化为线性方程组。
• 物理建模：如结构力学中的最小势能原理、热传导方程等。
• 优化问题：通过变分不等式描述约束条件下的极值问题。

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5. 示例

以泊松方程为例，其变分形式为： $$ int_Omega abla u cdot abla v , dOmega = int_Omega f v , dOmega quad (forall v in V) $$ 其中，(u)为试函数，(v)为测试函数，(V)为函数空间。

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Variational formulation 是一种将微分方程转换为积分形式的数学工具，通过弱化解的条件和利用变分原理，为数值方法（如有限元）提供理论基础。需注意不同学科中术语的细微差异（如工科可能侧重能量泛函，数学侧重弱形式）。

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