unbiased estimator是什麼意思，unbiased estimator的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

在統計學中，無偏估計量 (Unbiased Estimator) 是一個核心概念，它描述了一個估計量（用于根據樣本數據推斷總體未知參數的統計量）在期望值上等于其試圖估計的總體參數真值的性質。

詳細解釋：

1. 核心定義： 一個估計量 (hat{theta})（讀作 "theta hat"）被稱作是總體參數 (theta)（讀作 "theta"）的無偏估計量，如果該估計量的數學期望（Expected Value） 等于參數的真值。用數學公式表示為： $$ E(hat{theta}) = theta $$ 這裡的 (E(hat{theta})) 表示在反複從同一總體中抽取大量樣本并計算 (hat{theta}) 的情況下，這些 (hat{theta}) 值的長期平均值。無偏性意味着這個長期平均值恰好等于我們想要估計的 (theta)。

2. 關鍵點理解：

   • “期望值”而非“單次估計值”：無偏性是關于估計量在重複抽樣下的平均表現的屬性。它并不意味着對任何一個特定的樣本，估計值 (hat{theta}) 都恰好等于 (theta)。單次估計可能會有誤差（或高或低），但這些誤差在多次重複抽樣中會相互抵消，使得平均值趨向于真值。
   • 系統性偏差的缺失：如果 (E(hat{theta}) eq theta)，則稱估計量 (hat{theta}) 是有偏的（Biased）。偏差（Bias）定義為 (Bias(hat{theta}) = E(hat{theta}) - theta)。無偏估計量的偏差為零。
   • 目标：無偏性是評價估計量好壞的一個重要标準。我們理想地希望估計量沒有系統性高估或低估總體參數的趨勢。

3. 經典示例：

   • 樣本均值 ((bar{X})) 是總體均值 ((mu)) 的無偏估計量： 假設我們有一個總體，其均值（期望值）為 (mu)。我們從該總體中抽取一個大小為 (n) 的隨機樣本，計算樣本均值 (bar{X} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_i)。可以證明： $$ E(bar{X}) = mu $$ 這意味着，無論樣本大小如何，樣本均值的期望值總是等于總體均值。因此，(bar{X}) 是 (mu) 的一個無偏估計量。
   • 樣本方差 ((s)) 是總體方差 ((sigma)) 的無偏估計量 (當分母為 (n-1) 時)： 樣本方差通常定義為 (s = frac{1}{n-1} sum_{i=1}^{n} (Xi - bar{X}))。可以證明： $$ E(s) = sigma $$ 注意分母是 (n-1)（稱為貝塞爾校正，Bessel's correction），而不是 (n)。如果使用分母 (n)（即 (frac{1}{n} sum{i=1}^{n} (X_i - bar{X}))），其期望值會是 (E[frac{1}{n} sum (X_i - bar{X})] = frac{n-1}{n} sigma eq sigma)，因此分母為 (n) 的樣本方差是有偏的（低估了總體方差）。

4. 重要性與局限性：

   • 重要性：無偏性是許多統計推斷方法（如置信區間構造、假設檢驗）的理論基礎之一。它确保估計方法在長期平均意義上是準确的。
   • 局限性：無偏性并非評價估計量的唯一标準。一個無偏估計量可能具有很大的方差（波動性很大），導緻單次估計的結果很不穩定（不精确）。有時，一個有輕微偏差但方差很小的估計量（如嶺回歸估計量）可能比一個無偏但高方差的估計量更實用（均方誤差更小）。因此，在實際應用中需要權衡偏差和方差。

參考來源：

• 統計學經典教材如 Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury Press. 或 Wasserman, L. (2004). All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer 對無偏估計量及其性質有嚴謹的定義和證明。
• 權威線上資源如賓夕法尼亞州立大學的 STAT 415 課程材料 (https://online.stat.psu.edu/stat415/) 或 杜克大學的統計學教材 (https://www2.stat.duke.edu/courses/Spring12/sta104.1/Lectures/Lecture22.pdf) 提供了清晰的教學解釋和示例。
• 美國國家标準與技術研究院 (NIST) 的工程統計學手冊 (https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/) 在相關章節也涵蓋了無偏估計的概念。

網絡擴展資料

無偏估計量（unbiased estimator）是統計學中衡量估計量質量的核心概念，其含義和要點如下：

1. 定義

一個估計量$hat{theta}$若滿足$mathbb{E}[hat{theta}] = theta$（即其數學期望等于被估計參數的真值），則稱該估計量是無偏的。這表示在大量重複抽樣下，估計值的平均值會無限接近真實參數值。

2. 經典示例

• 樣本均值：$bar{X} = frac{1}{n}sum_{i=1}^n X_i$ 是總體均值$mu$的無偏估計，因為$mathbb{E}[bar{X}] = mu$
• 修正的樣本方差：使用$S = frac{1}{n-1}sum_{i=1}^n (X_i - bar{X})$而非$n$作為分母，才能保證對總體方差$sigma$的無偏性

3. 重要特性

• 無偏性不意味着單次估計必然準确（可能仍有較大方差）
• 可能存在多個無偏估計量，此時需結合有效性（方差更小）選擇最優
• 某些情況下需權衡：如嶺回歸會引入偏誤以降低方差

4. 常見誤區

• 無偏性≠一緻性（後者要求樣本量→∞時估計量依概率收斂于真值）
• 并非所有參數都存在無偏估計（如二項分布的參數$p$的标準差）

5. 實際應用

在實驗設計、質量控制、經濟模型等領域，無偏性常作為選擇估計量的首要标準。例如：

• 民意調查中通過隨機抽樣保證估計無偏
• 機器學習模型評估時使用無偏的交叉驗證方法

需注意：有時為了降低均方誤差（MSE = 方差 + 偏倚²），可能故意采用有偏估計（如LASSO回歸）。這說明統計量的選擇需結合實際需求權衡。

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