切面相切平面
It is really the tangent plane.
它确實就是切平面。
That is how we get the tangent plane.
這樣我們就得到了切平面。
That's the equation of a tangent plane.
這就是切平面的方程。
That's one way to define the tangent plane.
這是定義切平面的方法。
We are replacing the graph by its tangent plane.
我們用函數的切平面來替代它的圖像。
在微分幾何中，切平面（tangent plane）是指三維空間内與曲面在某一點處相切的平面。該平面在該點處與曲面具有相同的局部幾何性質，能夠近似描述曲面在該鄰域内的變化趨勢。
設曲面由方程$F(x,y,z)=0$定義，點$P(x_0,y_0,z_0)$為曲面上一點。若函數$F$在$P$處可微，則切平面的方程為： $$
abla F(P) cdot (mathbf{r} - mathbf{r_0}) = 0 $$ 其中$ abla F(P)$是$F$在$P$處的梯度向量，$mathbf{r}$為平面上任意點的位置向量。此方程也可展開為： $$ F_x(P)(x-x_0) + F_y(P)(y-y_0) + F_z(P)(z-z_0) = 0 $$
切平面是曲面上某一點局部線性近似的最佳平面，其方向由該點的法向量唯一确定。例如，球面上任意一點的切平面均垂直于該點的半徑方向。
Tangent Plane（切平面）的詳細解釋
1. 定義
切平面是三維空間中與某個曲面在特定點處相切的平面。它在該點處與曲面具有相同的局部幾何性質，即在該點附近與曲面“僅接觸于一點”，且方向完全一緻。切平面是曲面在該點的最佳線性近似，常用于局部幾何分析或近似計算。
2. 數學表達式
隱式曲面：若曲面由方程 ( F(x, y, z) = 0 ) 定義，在點 ( P(x_0, y_0, z_0) ) 處的切平面方程為： $$ F_x(P)(x - x_0) + F_y(P)(y - y_0) + F_z(P)(z - z_0) = 0 $$ 其中 ( F_x, F_y, F_z ) 是 ( F ) 的偏導數，( abla F(P) = (F_x, F_y, F_z) ) 是該點的法向量。
顯式曲面：若曲面由 ( z = f(x, y) ) 表示，切平面方程為： $$ z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) $$ 這裡 ( f_x, f_y ) 是 ( f ) 的偏導數，方程實質是函數在 ( (x_0, y_0) ) 處的線性化（泰勒一階展開）。
3. 幾何意義
切平面反映了曲面在一點處的局部方向。例如：
4. 存在條件
切平面存在的必要條件是曲面在目标點處光滑（可微）且法向量非零。若曲面有尖點或折痕（如圓錐頂點），則可能不存在唯一的切平面。
總結
切平面是微分幾何和多元微積分中的核心概念，通過局部線性化簡化複雜曲面的分析。理解其定義和計算方法是學習曲面性質、優化問題及物理建模的重要基礎。
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