切面相切平面
It is really the tangent plane.
它确实就是切平面。
That is how we get the tangent plane.
这样我们就得到了切平面。
That's the equation of a tangent plane.
这就是切平面的方程。
That's one way to define the tangent plane.
这是定义切平面的方法。
We are replacing the graph by its tangent plane.
我们用函数的切平面来替代它的图像。
在微分几何中，切平面（tangent plane）是指三维空间内与曲面在某一点处相切的平面。该平面在该点处与曲面具有相同的局部几何性质，能够近似描述曲面在该邻域内的变化趋势。
设曲面由方程$F(x,y,z)=0$定义，点$P(x_0,y_0,z_0)$为曲面上一点。若函数$F$在$P$处可微，则切平面的方程为： $$
abla F(P) cdot (mathbf{r} - mathbf{r_0}) = 0 $$ 其中$ abla F(P)$是$F$在$P$处的梯度向量，$mathbf{r}$为平面上任意点的位置向量。此方程也可展开为： $$ F_x(P)(x-x_0) + F_y(P)(y-y_0) + F_z(P)(z-z_0) = 0 $$
切平面是曲面上某一点局部线性近似的最佳平面，其方向由该点的法向量唯一确定。例如，球面上任意一点的切平面均垂直于该点的半径方向。
Tangent Plane（切平面）的详细解释
1. 定义
切平面是三维空间中与某个曲面在特定点处相切的平面。它在该点处与曲面具有相同的局部几何性质，即在该点附近与曲面“仅接触于一点”，且方向完全一致。切平面是曲面在该点的最佳线性近似，常用于局部几何分析或近似计算。
2. 数学表达式
隐式曲面：若曲面由方程 ( F(x, y, z) = 0 ) 定义，在点 ( P(x_0, y_0, z_0) ) 处的切平面方程为： $$ F_x(P)(x - x_0) + F_y(P)(y - y_0) + F_z(P)(z - z_0) = 0 $$ 其中 ( F_x, F_y, F_z ) 是 ( F ) 的偏导数，( abla F(P) = (F_x, F_y, F_z) ) 是该点的法向量。
显式曲面：若曲面由 ( z = f(x, y) ) 表示，切平面方程为： $$ z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) $$ 这里 ( f_x, f_y ) 是 ( f ) 的偏导数，方程实质是函数在 ( (x_0, y_0) ) 处的线性化（泰勒一阶展开）。
3. 几何意义
切平面反映了曲面在一点处的局部方向。例如：
4. 存在条件
切平面存在的必要条件是曲面在目标点处光滑（可微）且法向量非零。若曲面有尖点或折痕（如圆锥顶点），则可能不存在唯一的切平面。
总结
切平面是微分几何和多元微积分中的核心概念，通过局部线性化简化复杂曲面的分析。理解其定义和计算方法是学习曲面性质、优化问题及物理建模的重要基础。
【别人正在浏览】