system of linear equations是什麼意思，system of linear equations的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

線性方程組

例句

Of course, these methods can also be used to solve other systems of linear equations.

當然，此種方法還可以用來求解其它一些方程組。

Then, the learning of the weight matrix can be done by means of solving a group of systems of linear equations. Last, the mathematical base of the outer-product leaming method is pointed out.

将權矩陣的學習過程歸結為用梯度下降法求一組矛盾線性方程組的過程；

Meschach was designed to solve systems of dense or sparse linear equations, compute eigenvalues and eigenvectors, and solve least squares problems, among other things.

Meschach可以解稠密或稀疏線性方程組、計算特征值和特征向量和解最小平方問題，另外還有其它功能。

We have already stated that our main concern will be the study of systems for which linear, time-invariant differential equations provide a useful model.

前已指出：我們主要關心的是用線性、時不變微分方程作為實用的模型系統。

Exact response of damped linear vibrating systems to arbitrarily excitation is obtained according to theory of ordinary differential equations.

利用常微分方程組理論在較一般條件下求出了線性有阻尼多自由度振動系統對任意外激勵的精确響應。

專業解析

線性方程組（system of linear equations）是指由兩個或兩個以上包含相同變量的線性方程構成的集合。其核心特征是所有方程中的變量均以一次幂的形式出現，且不存在變量相乘的情況。這類方程組在數學、工程學、經濟學等領域具有廣泛應用，用于描述多個變量間的線性關系并求解滿足所有方程的變量值組合（即方程組的解）。

核心概念解析

線性方程
指形如 (a_1x_1 + a_2x_2 + cdots + a_nx_n = b) 的方程，其中 (x_1, x_2, ldots, x_n) 為變量，(a_1, a_2, ldots, a_n) 為系數（常數），(b) 為常數項。方程中變量均為一次項，且無乘積或高次項。
方程組的結構
一個包含 (m) 個方程和 (n) 個變量的線性方程組可表示為：

$$ begin{cases} a_{11}x1 + a{12}x2 + cdots + a{1n}x_n = b1

a{21}x1 + a{22}x2 + cdots + a{2n}x_n = b2

vdots

a{m1}x1 + a{m2}x2 + cdots + a{mn}x_n = bm end{cases} $$ 其中 (a{ij}) 表示第 (i) 個方程中第 (j) 個變量的系數。
解的含義
方程組的解是一組數值 ((s_1, s_2, ldots, s_n))，當這些數值代入所有方程時，能使每個方程均成立。解的可能情況包括：
- 唯一解：僅存在一組滿足條件的值（如兩條相交直線）。
- 無解：不存在滿足所有方程的值（如平行直線）。
- 無窮多解：存在無限組滿足條件的值（如重合直線）。

應用場景

工程建模：用于電路分析中的電流計算、結構力學中的受力平衡。
經濟學：描述供需關系、投入産出模型。
計算機科學：圖像處理中的坐标變換、機器學習中的優化問題。

數學表示與求解工具

方程組可通過矩陣表示為 (Amathbf{x} = mathbf{b})，其中：

(A) 是系數矩陣 (begin{bmatrix} a{11} & cdots & a{1n}vdots & ddots & vdotsa{m1} & cdots & a{mn} end{bmatrix})
(mathbf{x}) 是變量向量 ((x_1, x_2, ldots, x_n)^T)
(mathbf{b}) 是常數項向量 ((b_1, b_2, ldots, b_m)^T)
常用解法包括高斯消元法、矩陣求逆（當 (A) 可逆時）及疊代數值方法。

參考資料

定義與性質參考《線性代數及其應用》（David C. Lay 著）第1章；應用案例詳見MIT OpenCourseWare課程"18.06 Linear Algebra"。

網絡擴展資料

"System of linear equations"（線性方程組）指由多個線性方程構成的集合，這些方程共享相同的變量，目标是找到滿足所有方程的變量值組合。以下是詳細解釋：

基本定義
- 由形式為 (a_1x_1 + a_2x_2 + dots + a_nx_n = b) 的方程組成，其中 (a_i) 是系數，(x_i) 是變量，(b) 是常數項。
- 例如： $$ begin{cases} 2x + y = 5 x - 3y = 2 end{cases} $$
解的類型
- 唯一解：方程組的解集為單個點（幾何上表示直線/平面/超平面的交點）。
- 無解：方程矛盾（如平行但不相交的直線）。
- 無窮多解：方程存在依賴關系（如兩條直線重合）。
求解方法
- 代入法：通過一個方程表達變量并代入其他方程。
- 消元法：通過加減方程消去變量，如高斯消元法。
- 矩陣法：用系數矩陣和增廣矩陣，通過行變換求解。
應用領域
- 工程學（電路分析、結構力學）、經濟學（供需模型）、計算機圖形學（坐标變換）等。
- 例如：通過方程組建模資源分配或成本優化問題。
相關概念擴展
- 齊次方程組：所有常數項 (b=0)，總有零解，非零解存在的條件是系數矩陣秩小于變量數。
- 克拉默法則：適用于系數矩陣可逆的方陣系統，通過行列式計算解。

若需具體案例或更深入的數學推導（如矩陣秩與解的關系），可進一步說明需求。

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