stationary process是什麼意思，stationary process的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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平穩過程（Stationary Process）詳解

在統計學、信號處理、時間序列分析等領域，“平穩過程”（Stationary Process）是一個核心概念，它描述了一類具有特定穩定性特征的隨機過程。其核心思想在于過程的統計特性不隨時間推移而發生改變。

1. 定義與核心特征 一個隨機過程被稱為平穩過程，是指其概率分布或特定的統計特性在時間平移下保持不變。這意味着過程在不同時間點上的行為模式具有一緻性。平穩性主要分為兩種嚴格程度不同的定義：

• 嚴格平穩性（Strict Stationarity）：這是最強形式的平穩性。它要求隨機過程的所有有限維聯合概率分布（即任意選取的多個時間點上的聯合分布）在時間平移下都保持不變。換言之，對于任意時間點集合 ( t_1, t_2, ..., tn ) 和任意時間平移量 ( tau )，隨機變量組 ( (X{t1}, X{t2}, ..., X{tn}) ) 的聯合分布與 ( (X{t1+tau}, X{t2+tau}, ..., X{t_n+tau}) ) 的聯合分布完全相同。這要求過程的所有統計特性（包括高階矩）都絕對恒定。

• 廣義平穩性（Weak Stationarity / Wide-Sense Stationarity, WSS）：這是工程和應用科學中最常用的定義，條件相對寬松。它隻要求過程滿足以下兩個條件：

  • 均值恒定（Constant Mean）：過程的均值函數不隨時間變化，即對于所有時間 ( t )，都有 ( E[X_t] = mu )（一個常數）。
  • 自相關函數僅依賴于時間差（Autocorrelation Depends on Lag）：過程在時間 ( t_1 ) 和 ( t_2 ) 的自相關函數 ( R_X(t_1, t2) = E[X{t1} X{t_2}] ) 隻取決于兩個時間點之間的差值 ( tau = t_1 - t_2 )，而與具體的絕對時間位置無關。即 ( R_X(t_1, t_2) = R_X(tau) )。這通常也隱含了方差恒定（當 ( tau = 0 ) 時，( R_X(0) = E[X_t] ) 是常數）。

2. 重要性與應用 平穩性假設極大地簡化了對隨機過程的建模和分析：

• 統計推斷可行：因為特性恒定，我們可以利用整個時間序列的曆史數據來可靠地估計過程的統計參數（如均值、方差、自相關函數），并基于此進行預測。
• 頻譜分析基礎：在信號處理中，廣義平穩過程是頻譜分析（如傅裡葉變換、功率譜密度估計）的理論基礎。維納-辛欽定理（Wiener-Khinchin Theorem）表明，廣義平穩過程的功率譜密度是其自相關函數的傅裡葉變換。
• 模型簡化：許多經典的時間序列模型（如自回歸模型 AR、移動平均模型 MA、自回歸移動平均模型 ARMA）都建立在數據是（廣義）平穩的假設之上。
• 廣泛應用領域：平穩過程的理論被廣泛應用于通信系統（建模噪聲和信號）、金融時間序列分析（盡管金融數據常不滿足平穩性，需轉化）、經濟學、氣象學、聲學、振動分析等衆多領域。

3. 與非平穩過程的區别 與非平穩過程（其統計特性隨時間顯著變化）相比，平穩過程表現出時間上的“穩定性”。實際中，許多自然或工程過程在一定條件下或經過適當變換（如差分、去趨勢）後，可以近似視為平穩過程進行處理。

參考資料：

1. Box, G. E. P., Jenkins, G. M., & Reinsel, G. C. (2015). Time Series Analysis: Forecasting and Control (5th ed.). Wiley. (經典教材，詳細闡述平穩性在時間序列建模中的作用) https://www.wiley.com/en-us/Time+Series+Analysis%3A+Forecasting+and+Control%2C+5th+Edition-p-9781118675021
2. MIT OpenCourseWare - Lecture Notes on Random Processes. (權威教育資源，清晰定義嚴格與廣義平穩性) https://ocw.mit.edu/courses/6-011-introduction-to-communication-control-and-signal-processing-spring-2010/pages/lecture-notes/ (需查找具體講義章節)
3. National Institute of Standards and Technology (NIST) Engineering Statistics Handbook - Section on Time Series Analysis. (政府标準機構提供的實用指南，解釋平穩性概念及應用) https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc4.htm

網絡擴展資料

Stationary Process（平穩過程） 是統計學和信號處理等領域的重要概念，指一個隨機過程的統計特性不隨時間推移而改變。以下是詳細解釋：

1. 核心定義

• 嚴格平穩（Strict Stationarity）：所有可能的概率分布特性（如均值、方差、高階矩）在時間平移後保持不變。例如，任意時刻 ( t_1, t_2, dots, t_n ) 的聯合分布與 ( t_1+tau, t_2+tau, dots, t_n+tau ) 的聯合分布相同。

• 弱平穩（Weak Stationarity）：僅要求均值和協方差穩定：

  • 均值恒定：對所有時間 ( t )，有
    $$mathbb{E}[X_t] = mu$$
  • 自協方差僅依賴時間間隔：對任意 ( t, s )，有
    $$text{Cov}(X_t, X_s) = gamma(|t - s|)$$

2. 重要性

• 簡化分析：平穩性假設使建模和預測更簡單（如ARMA模型）。
• 統計推斷基礎：參數估計（如均值、方差）在平穩條件下更可靠。
• 信號處理應用：平穩信號可通過傅裡葉變換分析頻譜特性。

3. 與非平穩過程的對比

• 非平穩過程的統計特性隨時間變化（如趨勢、季節性），需通過差分、去趨勢等方法轉化為平穩過程（如ARIMA模型中的差分步驟）。

4. 常見例子

• 白噪聲：均值為零、方差恒定且無自相關的平穩過程。
• AR(1)過程：若系數絕對值小于1，則自協方差隨時間衰減，滿足弱平穩。

5. 檢驗方法

• ADF檢驗（Augmented Dickey-Fuller Test）：用于判斷時間序列是否平穩（原假設為非平穩）。
• 觀察自相關圖（ACF）：平穩過程的自相關系數快速衰減至零。

平穩過程是時間序列分析的基礎假設，其統計特性的一緻性為建模提供了便利。實際應用中需先檢驗數據的平穩性，必要時進行轉換。

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