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常用詞典

割線法；[數] 正割法

例句

Nonlinear ***lectric property was also examined by means of secant method.

利用割線方法還研究了該類複合材料的非線性有效性質。

According to the nodal admittance equation, the analysis of steady state performance of self excited induction generators is carried out by using the secant method.

依據等效電路的節點導納方程，采用弦截法分析了自勵感應發電機的穩态特性。

For single operating parameter units, secant method coupled with a unit simulator is used to search feasible operating conditions implementing the quasi-optimal plan.

對于單操作參數裝置，利用正割法搜索實現拟最優計劃的可行操作條件。

On the basis of Newton method, Secant method used the difference quotient instead of calculating the value of derivative. his thesis derives improvements of Newton method.

弦截法在牛頓法的基礎上，利用差商來回避導數值的計算。本文推導了牛頓疊代法的各種改進方法。

Then the numerical results show that new algorithm effectively overcomes the shortcomings of secant method, and evidently improves the convergent speed, convergent range and algorithm stability.

數值實驗結果表明，這種算法不僅有效克服了割線法的缺陷，而且收斂速度、收斂範圍和算法的穩定性也得到明顯提高。

專業解析

割線法（Secant Method）是一種用于求解非線性方程 ( f(x) = 0 ) 根的數值疊代方法。它通過用割線近似代替曲線的導數（即切線），避免了牛頓法中需要顯式計算導數 ( f'(x) ) 的要求，是牛頓法的一種有效替代方案。

1.基本原理

割線法基于幾何直觀：用曲線上兩個初始點 ((x_0, f(x_0))) 和 ((x_1, f(x_1))) 構造一條割線，該割線與 ( x ) 軸的交點作為下一個近似根 ( x_2 )。重複此過程，逐步逼近方程的根。其核心思想是用差商近似導數： [ f'(x_n) approx frac{f(xn) - f(x{n-1})}{xn - x{n-1}} ] 代入牛頓疊代公式即得割線法疊代公式： [ x_{n+1} = x_n - f(x_n) left( frac{xn - x{n-1}}{f(xn) - f(x{n-1})} right) ]

2.疊代步驟

1. 選擇兩個初始近似值 ( x_0 ) 和 ( x_1 )（需滿足 ( f(x_0) eq f(x_1) )）。
2. 計算下一個近似根： [ x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n) (xn - x{n-1})}{f(xn) - f(x{n-1})} ]
3. 重複疊代直至滿足收斂條件（如 ( |x_{n+1} - xn| < epsilon ) 或 ( |f(x{n+1})| < delta )）。

3.收斂性與優缺點

• 收斂性：在根附近若 ( f(x) ) 二階連續可導且初始值足夠接近真根，方法以超線性速度收斂（收斂階約為 1.618）。
• 優點：無需計算導數，適合導數複雜或不可求的函數。
• 缺點：收斂速度低于牛頓法；需兩個初始值；分母 ( f(xn) - f(x{n-1}) ) 接近零時可能導緻數值不穩定。

4.應用場景

常用于工程和科學計算中求解非線性方程，例如：

• 物理模型中的平衡點計算
• 優化問題的初始值估計
• 金融模型中的隱含波動率求解

參考來源

1. 《數值分析》（Burden & Faires）：詳細推導疊代公式及收斂性證明。
2. MathWorld《割線法》條目：幾何解釋與算法步驟圖解。
3. MIT開放式課程《數值方法》講義：對比牛頓法與割線法的實際應用案例。

網絡擴展資料

割線法（Secant Method）是一種用于求解非線性方程 ( f(x) = 0 ) 根的疊代數值方法。它通過構造割線來逼近函數的根，屬于牛頓法的改進版本，但無需計算導數。以下是詳細解釋：

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1. 基本思想

• 原理：用兩個初始猜測值 ( x_0 ) 和 ( x_1 ) 構造一條割線（兩點間的直線），割線與 ( x )-軸的交點作為下一個近似根 ( x_2 )，重複疊代直至收斂。
• 替代導數：用差商 ( frac{f(xn) - f(x{n-1})}{xn - x{n-1}} ) 近似代替牛頓法中的導數 ( f'(x_n) )。

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2. 疊代公式

疊代步驟為： $$ x_{n+1} = x_n - f(x_n) cdot frac{xn - x{n-1}}{f(xn) - f(x{n-1})} $$

• 幾何意義：每次疊代用割線更新近似值，逐步逼近真實根（如圖示，割線與 ( x )-軸的交點即新解）。

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3. 收斂性

• 收斂速度：超線性收斂，收斂階約為 ( phi approx 1.618 )（黃金分割率），比二分法快，但慢于牛頓法（二階收斂）。
• 條件：要求初始猜測足夠接近真實根，且函數在根附近連續且光滑。

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4. 優缺點

• 優點：
  • 無需計算導數，適合導數複雜或無法解析求導的函數。
  • 計算成本低（每次疊代僅需一次新函數值）。
• 缺點：
  • 需要兩個初始猜測值。
  • 不保證全局收斂（可能發散，依賴初始值選擇）。

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5. 應用場景

• 適用于工程和科學計算中導數難以獲取的問題，例如求解隱式方程或複雜函數的根。
• 示例：求解 ( f(x) = x - 2x - 5 = 0 )，通過疊代公式逐步逼近根。

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公式推導（補充）

假設當前近似根為 ( xn ) 和 ( x{n-1} )，割線方程為： $$ y = f(x_n) + frac{f(xn) - f(x{n-1})}{xn - x{n-1}} (x - xn) $$ 令 ( y = 0 )，解得 ( x{n+1} )，即得到疊代公式。

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如果需要具體計算步驟或代碼實現，可以進一步提供示例或編程指導。

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