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割线法；[数] 正割法

例句

Nonlinear ***lectric property was also examined by means of secant method.

利用割线方法还研究了该类复合材料的非线性有效性质。

According to the nodal admittance equation, the analysis of steady state performance of self excited induction generators is carried out by using the secant method.

依据等效电路的节点导纳方程，采用弦截法分析了自励感应发电机的稳态特性。

For single operating parameter units, secant method coupled with a unit simulator is used to search feasible operating conditions implementing the quasi-optimal plan.

对于单操作参数装置，利用正割法搜索实现拟最优计划的可行操作条件。

On the basis of Newton method, Secant method used the difference quotient instead of calculating the value of derivative. his thesis derives improvements of Newton method.

弦截法在牛顿法的基础上，利用差商来回避导数值的计算。本文推导了牛顿迭代法的各种改进方法。

Then the numerical results show that new algorithm effectively overcomes the shortcomings of secant method, and evidently improves the convergent speed, convergent range and algorithm stability.

数值实验结果表明，这种算法不仅有效克服了割线法的缺陷，而且收敛速度、收敛范围和算法的稳定性也得到明显提高。

专业解析

割线法（Secant Method）是一种用于求解非线性方程 ( f(x) = 0 ) 根的数值迭代方法。它通过用割线近似代替曲线的导数（即切线），避免了牛顿法中需要显式计算导数 ( f'(x) ) 的要求，是牛顿法的一种有效替代方案。

1.基本原理

割线法基于几何直观：用曲线上两个初始点 ((x_0, f(x_0))) 和 ((x_1, f(x_1))) 构造一条割线，该割线与 ( x ) 轴的交点作为下一个近似根 ( x_2 )。重复此过程，逐步逼近方程的根。其核心思想是用差商近似导数： [ f'(x_n) approx frac{f(xn) - f(x{n-1})}{xn - x{n-1}} ] 代入牛顿迭代公式即得割线法迭代公式： [ x_{n+1} = x_n - f(x_n) left( frac{xn - x{n-1}}{f(xn) - f(x{n-1})} right) ]

2.迭代步骤

1. 选择两个初始近似值 ( x_0 ) 和 ( x_1 )（需满足 ( f(x_0) eq f(x_1) )）。
2. 计算下一个近似根： [ x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n) (xn - x{n-1})}{f(xn) - f(x{n-1})} ]
3. 重复迭代直至满足收敛条件（如 ( |x_{n+1} - xn| < epsilon ) 或 ( |f(x{n+1})| < delta )）。

3.收敛性与优缺点

• 收敛性：在根附近若 ( f(x) ) 二阶连续可导且初始值足够接近真根，方法以超线性速度收敛（收敛阶约为 1.618）。
• 优点：无需计算导数，适合导数复杂或不可求的函数。
• 缺点：收敛速度低于牛顿法；需两个初始值；分母 ( f(xn) - f(x{n-1}) ) 接近零时可能导致数值不稳定。

4.应用场景

常用于工程和科学计算中求解非线性方程，例如：

• 物理模型中的平衡点计算
• 优化问题的初始值估计
• 金融模型中的隐含波动率求解

参考来源

1. 《数值分析》（Burden & Faires）：详细推导迭代公式及收敛性证明。
2. MathWorld《割线法》条目：几何解释与算法步骤图解。
3. MIT开放式课程《数值方法》讲义：对比牛顿法与割线法的实际应用案例。

网络扩展资料

割线法（Secant Method）是一种用于求解非线性方程 ( f(x) = 0 ) 根的迭代数值方法。它通过构造割线来逼近函数的根，属于牛顿法的改进版本，但无需计算导数。以下是详细解释：

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1. 基本思想

• 原理：用两个初始猜测值 ( x_0 ) 和 ( x_1 ) 构造一条割线（两点间的直线），割线与 ( x )-轴的交点作为下一个近似根 ( x_2 )，重复迭代直至收敛。
• 替代导数：用差商 ( frac{f(xn) - f(x{n-1})}{xn - x{n-1}} ) 近似代替牛顿法中的导数 ( f'(x_n) )。

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2. 迭代公式

迭代步骤为： $$ x_{n+1} = x_n - f(x_n) cdot frac{xn - x{n-1}}{f(xn) - f(x{n-1})} $$

• 几何意义：每次迭代用割线更新近似值，逐步逼近真实根（如图示，割线与 ( x )-轴的交点即新解）。

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3. 收敛性

• 收敛速度：超线性收敛，收敛阶约为 ( phi approx 1.618 )（黄金分割率），比二分法快，但慢于牛顿法（二阶收敛）。
• 条件：要求初始猜测足够接近真实根，且函数在根附近连续且光滑。

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4. 优缺点

• 优点：
  • 无需计算导数，适合导数复杂或无法解析求导的函数。
  • 计算成本低（每次迭代仅需一次新函数值）。
• 缺点：
  • 需要两个初始猜测值。
  • 不保证全局收敛（可能发散，依赖初始值选择）。

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5. 应用场景

• 适用于工程和科学计算中导数难以获取的问题，例如求解隐式方程或复杂函数的根。
• 示例：求解 ( f(x) = x - 2x - 5 = 0 )，通过迭代公式逐步逼近根。

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公式推导（补充）

假设当前近似根为 ( xn ) 和 ( x{n-1} )，割线方程为： $$ y = f(x_n) + frac{f(xn) - f(x{n-1})}{xn - x{n-1}} (x - xn) $$ 令 ( y = 0 )，解得 ( x{n+1} )，即得到迭代公式。

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如果需要具体计算步骤或代码实现，可以进一步提供示例或编程指导。

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