scaling function是什麼意思，scaling function的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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專業解析

在數學和信號處理領域，縮放函數（Scaling Function） 是小波分析理論中的一個核心概念。它與小波函數（Wavelet Function）共同構成小波變換的基礎，主要用于對信號或函數進行多分辨率分析（Multiresolution Analysis, MRA）。

核心含義：

縮放函數，通常用希臘字母 φ (phi) 表示，定義了小波多分辨率分析中近似空間（Approximation Space） 的基底。它的主要作用在于：

1. 生成嵌套子空間序列： 縮放函數通過自身的平移和伸縮（縮放），生成一系列嵌套的、分辨率逐級降低的線性子空間序列 {V_j} (j ∈ ℤ)。具體來說：

   • 平移： 函數 φ(x) 在整數點上平移 k (即 φ(x - k)) 生成空間 V_0 的一組正交基或 Riesz 基。
   • 伸縮： 對 φ(x) 進行尺度因子為 2^j 的伸縮（即 φ(2^j x)），再平移整數倍 k (即 φ(2^j x - k))，則生成空間 V_j 的一組基。尺度因子 j 越大，空間 V_j 對應的分辨率越低（尺度越粗），包含的函數越平滑；j 越小，分辨率越高（尺度越細）。
   • 嵌套關系： 這些子空間滿足嵌套關系：... ⊂ V_{-1} ⊂ V_0 ⊂ V_1 ⊂ V_2 ⊂ ...。這意味着在較粗糙分辨率 (Vj) 下的信號近似，可以被包含在更精細分辨率 (V{j+1}) 下的近似中。

2. 刻畫信號的低頻/概貌成分： 在某個特定尺度 j 下，信號在空間 V_j 上的投影代表了信號在該分辨率下的最佳近似（Approximation） 或低頻概貌成分。縮放函數本身通常具有低通濾波特性。

3. 與小波函數的關系： 縮放函數 φ(x) 和小波函數 ψ(x) 緊密相關。小波函數用于生成相鄰兩個近似空間 Vj 和 V{j+1} 之間的細節空間（Detail Space） Wj（即 V{j+1} = V_j ⊕ W_j）。細節空間捕獲了從分辨率 j 提升到分辨率 j+1 所需的高頻細節信息。兩者滿足特定的雙尺度方程（Refinement Equation）或雙尺度關系。

雙尺度方程：

縮放函數必須滿足一個關鍵的雙尺度方程（Refinement Equation）：

$$ phi(x) = sqrt{2} sum_{k in mathbb{Z}} h_k phi(2x - k) $$

其中：

• $phi(x)$ 是縮放函數。
• ${h_k}$ 是一組稱為低通濾波器系數（Scaling Filter Coefficients） 的序列。這個序列決定了特定縮放函數的特性（如 Haar, Daubechies 等）。
• 方程表明：縮放函數本身可以由其自身在更精細尺度 (2x) 上的平移版本的線性組合來表示。這體現了多分辨率分析中尺度間的内在聯繫。

縮放函數是小波多分辨率分析的基石。它通過伸縮和平移操作，構建了一系列描述信號在不同尺度（分辨率）下低頻概貌成分的嵌套子空間。它滿足雙尺度方程，其對應的濾波器系數決定了小波族的特性，并與小波函數共同作用，實現對信號的分解（分析）和重構（合成）。

參考來源（概念基礎）：

1. 維基百科 - Scaling Function: 提供了縮放函數的基本定義及其在小波理論中的作用概述。（https://en.wikipedia.org/wiki/Scaling_function）
2. 維基百科 - Multiresolution Analysis (MRA): 詳細解釋了多分辨率分析框架，其中縮放函數是核心組成部分。（https://en.wikipedia.org/wiki/Multiresolution_analysis）
3. MathWorld - Scaling Function: Wolfram MathWorld 對縮放函數的數學定義和性質的描述。（https://mathworld.wolfram.com/ScalingFunction.html）
4. 斯坦福大學課程資料 (EE261): 許多大學的信號處理或小波分析課程講義會深入講解縮放函數及其性質。（例如搜索 "Stanford EE261 Wavelets" 或類似課程資料）
5. 經典教材：
   • Mallat, S. G. (1999). A wavelet tour of signal processing. Academic press. (标準參考書)
   • Daubechies, I. (1992). Ten lectures on wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics. (奠基性著作)

(注：以上鍊接是相關主題的權威信息來源。具體到“Scaling Function”的深入數學細節，通常需要查閱專業教材或學術文獻。)

網絡擴展資料

"Scaling function"（尺度函數/标度函數）是數學和信號處理領域中的一個核心概念，尤其在小波變換和多分辨率分析中具有重要作用。以下是其詳細解釋：

1.基本定義

• 功能：尺度函數是小波變換中的基礎函數，用于生成不同分辨率下的信號近似表示。它與母小波（wavelet function）共同構成小波基函數集合，實現信號的多尺度分解。
• 數學性質：尺度函數需滿足歸一化條件，且與自身平移後的函數正交。例如，若$phi(t)$為尺度函數，需滿足： $$ int_{-infty}^{infty} phi(t) phi(t-n) , dt = delta(n) $$ 其中$delta(n)$為狄拉克函數。

2.在小波變換中的應用

• 多分辨率分析（MRA）：通過尺度函數的縮放和平移構建不同精細度的子空間$Vj$，例如： $$ phi{j,k}(t) = 2^{j/2} phi(2^j t - k) $$ 其中$j$為尺度參數，$k$為平移參數。
• 與母小波的關系：母小波函數$psi(t)$由尺度函數通過差分生成，用于捕捉信號細節（高頻成分），而尺度函數負責近似（低頻成分）。

3.其他領域的含義

• 統計物理：在臨界現象研究中，标度函數（scaling function）可能描述物理量隨系統尺寸或參數變化的标度律（scaling law）。
• 工程應用：在功率分析儀中，"scaling"指對信號幅度的縮放以適應設備量程，但此場景下“function”可能指具體實現算法。

4.常見翻譯與術語

• 中文譯名：尺度函數（小波領域）、标度函數（物理領域）、定标函數（工程領域）。

5.示例與擴展

• 小波基生成：Haar小波的尺度函數為$phi(t) = 1$（當$0 leq t < 1$），通過二進伸縮和平移生成不同分辨率基函數。
• 實際意義：在圖像壓縮中，尺度函數用于生成低分辨率版本圖像，母小波則保留細節差異，從而實現高效編碼。

提示：具體含義需結合上下文，建議通過專業教材（如《小波與多分辨率分析》）或權威文獻進一步學習。

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