[數] 遞歸關系，遞推關系
The solution to each of them could be expressed as a recurrence relation.
每個問題的解都能用遞歸關系表示。
The establishment of a recurrence relation in geometric convex set is the key to solve a problem.
幾何凸集中遞歸關系的建立是求解問題的關鍵。
By transforming function specification, the recurrence relation of abstract problem-solving can be easily obtained.
利用規約進行變換，尋找遞推關系，可以比較容易得到抽象算法。
All right, this is what's called a recurrence relation, there are actually cool ways to solve them. We can kind of eyeball it.
好，這就是所謂的遞歸關系，也就是解決問題的相當好的辦法，我們可以來看看。
The factorization method for three-dimensional oscillator to show the method for formula match and recurrence relation in CA;
以因式分解法解三維諧振子徑向方程為例說明解析遞推關系和公式匹配的計算機處理；
遞歸關系（Recurrence Relation）是數學和計算機科學中用于定義序列的一種重要方法，它通過序列中前一項或前幾項的值來明确表述當前項的計算規則。這種關系本質上是一種遞推公式，将複雜問題分解為更小、相似的子問題，是動态規劃、算法分析和離散數學的核心工具之一。
遞歸關系由以下兩部分構成：
明确給出序列最開始的若幹項的具體值，作為遞推起點。例如斐波那契數列的初始條件為 ( F(0) = 0 ), ( F(1) = 1 )。
建立第 ( n ) 項與前面若幹項的函數關系。斐波那契數列的遞推規則為 ( F(n) = F(n-1) + F(n-2) )（當 ( n geq 2 ) 時）。
計算分治算法（如歸并排序）的時間複雜度時，遞歸關系能形式化描述問題規模與運算次數的關聯。例如歸并排序的時間複雜度可表示為 ( T(n) = 2T(n/2) + O(n) )。
解決計數問題，如漢諾塔移動步數 ( H(n) = 2H(n-1) + 1 )（來源：《具體數學》，Graham, Knuth, Patashnik）。
優化問題中的狀态轉移方程本質是遞歸關系，如背包問題的最優解遞推式（來源：《算法導論》，Cormen et al.）。
遞歸函數是編程實現，而遞歸關系是抽象數學模型。
遞歸關系可通過特征根法（線性齊次關系）或生成函數轉化為顯式表達式。例如斐波那契數列閉合解為： $$ F(n) = frac{phi^n - (-phi)^{-n}}{sqrt{5}}, quad phi = frac{1+sqrt{5}}{2} $$
| 類型 | 特征 | 求解方法 |
|---|---|---|
| 線性齊次關系 | 項間為線性組合且無常數項 | 特征方程法 |
| 線性非齊次關系 | 項間線性組合含額外函數項 | 特解+齊次通解 |
| 分治遞歸 | 形式如 ( T(n) = aT(n/b) + f(n) ) | 主定理（Master Theorem） |
權威參考來源：
- Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications (McGraw-Hill)，第8章"遞推關系與生成函數"系統闡述理論框架。
- Sedgewick, R. & Flajolet, P. An Introduction to the Analysis of Algorithms (Addison-Wesley)，通過算法案例解析遞推建模。
- 數學百科全書（MathWorld）相關條目提供嚴謹的數學定義與推導。
遞推關系（recurrence relation）是數學和計算機科學中用于定義序列的一種方法，它通過前面的項來遞歸地描述當前項。以下是關鍵解釋：
定義與核心思想 遞推關系是形如 ( an = f(a{n-1}, a{n-2}, ..., a{n-k}) ) 的方程，其中：
經典示例
斐波那契數列
( F(n) = F(n-1) + F(n-2) )，初始條件 ( F(0)=0, F(1)=1 )
階乘計算
( n! = n times (n-1)! )，初始條件 ( 0! = 1 )
分類與特性
應用領域
解法概述
例如，斐波那契數列的通項公式可通過特征方程法推導為：
$$
F(n) = frac{1}{sqrt{5}} left( left( frac{1+sqrt{5}}{2} right)^n - left( frac{1-sqrt{5}}{2} right)^n right)
$$
理解遞推關系有助于分析遞歸算法的時間複雜度，并解決離散數學中的序列建模問題。
go shoppingrapidsstand up tocarpentryslingcauldcommunitiesdirectoriesgutsyOOrosedfish filletin cementin honormediterranean regionmore than enoughshort shriftstationary phasesum insuredsustained attentiontropical fruitCOMITdeclamatoryeasterlingEchinothuriidaeGonodactylidaehydraulicityisomereleyonlap