[数] 递归关系，递推关系
The solution to each of them could be expressed as a recurrence relation.
每个问题的解都能用递归关系表示。
The establishment of a recurrence relation in geometric convex set is the key to solve a problem.
几何凸集中递归关系的建立是求解问题的关键。
By transforming function specification, the recurrence relation of abstract problem-solving can be easily obtained.
利用规约进行变换，寻找递推关系，可以比较容易得到抽象算法。
All right, this is what's called a recurrence relation, there are actually cool ways to solve them. We can kind of eyeball it.
好，这就是所谓的递归关系，也就是解决问题的相当好的办法，我们可以来看看。
The factorization method for three-dimensional oscillator to show the method for formula match and recurrence relation in CA;
以因式分解法解三维谐振子径向方程为例说明解析递推关系和公式匹配的计算机处理；
递归关系（Recurrence Relation）是数学和计算机科学中用于定义序列的一种重要方法，它通过序列中前一项或前几项的值来明确表述当前项的计算规则。这种关系本质上是一种递推公式，将复杂问题分解为更小、相似的子问题，是动态规划、算法分析和离散数学的核心工具之一。
递归关系由以下两部分构成：
明确给出序列最开始的若干项的具体值，作为递推起点。例如斐波那契数列的初始条件为 ( F(0) = 0 ), ( F(1) = 1 )。
建立第 ( n ) 项与前面若干项的函数关系。斐波那契数列的递推规则为 ( F(n) = F(n-1) + F(n-2) )（当 ( n geq 2 ) 时）。
计算分治算法（如归并排序）的时间复杂度时，递归关系能形式化描述问题规模与运算次数的关联。例如归并排序的时间复杂度可表示为 ( T(n) = 2T(n/2) + O(n) )。
解决计数问题，如汉诺塔移动步数 ( H(n) = 2H(n-1) + 1 )（来源：《具体数学》，Graham, Knuth, Patashnik）。
优化问题中的状态转移方程本质是递归关系，如背包问题的最优解递推式（来源：《算法导论》，Cormen et al.）。
递归函数是编程实现，而递归关系是抽象数学模型。
递归关系可通过特征根法（线性齐次关系）或生成函数转化为显式表达式。例如斐波那契数列闭合解为： $$ F(n) = frac{phi^n - (-phi)^{-n}}{sqrt{5}}, quad phi = frac{1+sqrt{5}}{2} $$
| 类型 | 特征 | 求解方法 |
|---|---|---|
| 线性齐次关系 | 项间为线性组合且无常数项 | 特征方程法 |
| 线性非齐次关系 | 项间线性组合含额外函数项 | 特解+齐次通解 |
| 分治递归 | 形式如 ( T(n) = aT(n/b) + f(n) ) | 主定理（Master Theorem） |
权威参考来源：
- Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications (McGraw-Hill)，第8章"递推关系与生成函数"系统阐述理论框架。
- Sedgewick, R. & Flajolet, P. An Introduction to the Analysis of Algorithms (Addison-Wesley)，通过算法案例解析递推建模。
- 数学百科全书（MathWorld）相关条目提供严谨的数学定义与推导。
递推关系（recurrence relation）是数学和计算机科学中用于定义序列的一种方法，它通过前面的项来递归地描述当前项。以下是关键解释：
定义与核心思想 递推关系是形如 ( an = f(a{n-1}, a{n-2}, ..., a{n-k}) ) 的方程，其中：
经典示例
斐波那契数列
( F(n) = F(n-1) + F(n-2) )，初始条件 ( F(0)=0, F(1)=1 )
阶乘计算
( n! = n times (n-1)! )，初始条件 ( 0! = 1 )
分类与特性
应用领域
解法概述
例如，斐波那契数列的通项公式可通过特征方程法推导为：
$$
F(n) = frac{1}{sqrt{5}} left( left( frac{1+sqrt{5}}{2} right)^n - left( frac{1-sqrt{5}}{2} right)^n right)
$$
理解递推关系有助于分析递归算法的时间复杂度，并解决离散数学中的序列建模问题。
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